交代行列

線型代数学において、交代行列（こうたいぎょうれつ、英: alternative matrix）、歪対称行列（わいたいしょうぎょうれつ、英: skew-symmetric matrix） または反対称行列（はんたいしょうぎょうれつ、英: antisymmetric matrix）は、正方行列 A であってその転置が自身の −1倍となるものをいう。

定義

交代行列 A は等式

$A^\mathrm{T}=-A$

を満足する。成分を用いて表せば、正方行列 A = (a_ij) は

$a_{ij}=-a_{ji} \mbox{ for all } i,j$

を満足するとき、歪対称的あるいは交代的であるという。例えばつぎの行列

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0\end{pmatrix}$

は交代的である。これに対し、対称行列は

$A^\mathrm{T}=A$

を満たす、つまり転置がそれ自身と一致する行列であり、また直交行列は転置が自身の逆行列となる、つまり

$A^T=A^{-1}$

を満足する行列である。

性質

交代行列の和およびスカラー倍は再び交代的である。したがって、交代行列の全体はベクトル空間を成す。n-次交代行列全体の成すベクトル空間の次元は n(n − 1)/2 であり、通常の位相を備えた Rⁿ² あるいは線型代数群 GL_n の閉部分空間を成す。

任意の正方行列 A に対し、その交代成分あるいは歪対称成分 (skew-symmetric component) とは

$\frac{1}{2}(A-A^\mathrm{T})$

で与えられる交代行列のことである。同様に対称成分 (symmetric component) は

$\frac{1}{2}(A+A^\mathrm{T})$

で与えられる対称行列をいう。行列 A はその対称成分と交代成分の和

$A = \frac{1}{2}(A+A^\mathrm{T}) + \frac{1}{2}(A-A^\mathrm{T})$

に表すことができる。これらの成分は一般に基底の直交変換の違いを除いて一意的に定まる。

A が交代的ならば、任意の実ベクトル x に対して x^TAx = 0 が成り立つ。実際、x^TAx はスカラー値ゆえ転置と自身とが一致するが、同時に積の転置法則と A の交代性から x^TAx = (x^TAx)^T = x^TA^Tx = −x^TAx が成り立つ。またこの逆も成り立つ。実際、A が交代的でないならばその対称成分が 0 でない固有値 λ を持ち、λ に属する正規化された固有ベクトルを v とすれば v^TAv = λ が成立する。

交代行列の主対角成分は全て 0 であり、したがって跡も 0 となる。

交代行列の行列式

A を n × n 交代行列とすると、A の行列式は

det(A) = det(A^T) = det(−A) = (−1)ⁿdet(A).

を満足する。特に、n が奇数ならばこれは 0 に等しい。この結果はカール・グスタフ・ヤコビに因んでヤコビの定理と呼ばれる (Eves, 1980)。

偶数次元の場合はもっと興味深い結果がある。次数 n が偶数であるときの A の行列式は A の成分に関する多項式の完全平方式

det(A) = Pf(A)²

として書くことができる（トーマス・ミューアによる）。ここで現われた多項式 Pf(A) は A のパフ多項式あるいはパフィアン (Pfaffian) と呼ばれる。ゆえに、実交代行列の行列式は常に非負である。

スペクトル論

交代行列の固有値は常に ±λ のような対として得られる（奇数次の場合に、0 を固有値に加えて考えることもあるが、ここでは除いている）。実交代行列の非零固有値はすべて純虚数であり、それらを ±iλ₁, ±iλ₂, …（各 λ_k は実数）の形に書くことができる。

実交代行列は正規行列（つまり、自身の随伴と可換）であり、それゆえスペクトル論の対象として任意の実交代行列がユニタリ行列によって対角化可能であることを述べることができる。実交代行列の固有値は複素数となるから実行列によって対角化することはできないが、それでも適当な直交変換によって区分対角化することができる。特に、任意の 2n-次交代行列は直交行列 Q と行列

$\Sigma = \begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{matrix} \\ & & & & \begin{matrix}0 \\ & \ddots \\ & & 0 \end{matrix} \end{bmatrix}$

（ただし、λ_k は実数）を用いて A = QΣQ^T の形に書くことができる。この行列の非零固有値は ±iλ_k である。奇数次の場合には、Σ は必ず少なくとも一つの行か列が全て 0 になる。

交代形式

（標数が 2 でない）体 K 上のベクトル空間 V 上の交代形式（こうたいけいしき、alternating form）φ とは、双線型形式

φ : V × V → K

であって、交代性

φ(v,w) = −φ(w,v)

を満たすものをいう。交代形式 φ は交代行列 A を用いて φ(v, w) = v^TAw の形に書くことができる。V の基底をひとつ固定すれば、逆に Kⁿ 上の n-次交代行列 A は x を x^TAx に写す交代形式を定める。

無限小回転

交代行列の全体は、直交群 O(n) の単位元における接空間を成す。この意味で、交代行列を無限小回転 (infinitesimal rotations) と考えることができる。別な言い方をすれば、交代行列全体の成すベクトル空間はリー群 O(n) に付随するリー環 o(n) に一致する。この空間におけるリー括弧積は交換子

$[A,B] = AB - BA$

で与えられる。ふたつの交代行列から得られる交換子がふたたび交代行列となることを確かめるのは難しくない。

交代行列 A の指数関数

$R=\exp(A)=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}$

は直交行列である。リー環の指数写像の像は常に対応するリー群の単位元を含む連結成分に含まれる。リー群 O(n) の場合にはこの連結成分は行列式が 1 の直交群全体の成す特殊直交群 SO(n) である。ゆえに R = exp(A) の行列式は +1 であり、行列式が 1 の直交行列はすべて交代行列の指数函数として書けることがわかる。

関連項目

• 歪エルミート行列
• 斜交行列
• 反対称

参考文献

• Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8. 
• Suprunenko, D. A. (2001), “Skew-symmetric matrix”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/S/s085720.htm 

外部リンク

• Template for splitting a matrix online into a symmetric and a skew-symmetric addend
• Antisymmetric matrix at Wolfram Mathworld