パフィアン

数学、特に線型代数において、パフィアン(ぱふぃあん、英: Pfaffian)とは、交代行列に対して定義される斉次多項式。交代行列の行列式は、パフィアンの2乗で表されるとともに、パフィアンにおいても行列式における関係式と類似の関係式が成り立つ。表現論や組み合せ論において応用されるほか、数理物理においては、可積分系の方程式のソリトン解の表示や可解格子の１種であるダイマー模型の分配関数の計算等に応用される。パフィアンという語は、その性質を研究したイギリスの数学者アーサー・ケイリーによって、名づけられたものであり、最初にパフィアンを導入したドイツの数学者J. F. パフに因むものである。

定義

一般的定義

2n次の交代行列A =(a_ij)_1≦i,j≦2n (a_ij= -a_ji)に対し、

$\operatorname{Pf}(A)= \sum_{\sigma \in F_{2n}} \sgn(\sigma) a_{\sigma(1)\sigma(2)} a_{\sigma(3)\sigma(4)} \cdots a_{\sigma(2n-1)\sigma(2n)}$

で定義されるn次の斉次多項式 Pf(A )をn次のパフィアンと呼ぶ。但し、F_2nは2n次の対称群S_2nの部分集合で、

$F_{2n}= \{ \sigma \in S_{2n}| \, \sigma(2i-1) < \sigma(2i) \quad (1 \leq i \leq n), \, \sigma(1) < \sigma(3) \cdots < \sigma(2n-1) \}$

を満たすものとして定義される。現れる項の重複を許すならば、

$\begin{align} \operatorname{Pf}(A) &= \frac{1}{2^n n!} \sum_{\sigma \in S_{2n}} \sgn(\sigma) a_{\sigma(1)\sigma(2)} a_{\sigma(3)\sigma(4)} \cdots a_{\sigma(2n-1)\sigma(2n)} \\ &= \frac{1}{ n!} \sum_{\sigma \in F_{2n}'} \sgn(\sigma) a_{\sigma(1)\sigma(2)} a_{\sigma(3)\sigma(4)} \cdots a_{\sigma(2n-1)\sigma(2n)} \end{align}$

という表示も可能である。但し、

$F_{2n}'= \{ \sigma \in S_{2n}| \, \sigma(2i-1) < \sigma(2i) \quad (i=1, \cdots, n) \}$

である。

外積代数による導入

ベクトル空間Vの基底e₁, e₂,…e_2nを用い、外積代数Λ(V )における2形式

$\omega= \sum_{i<j}a_{ij}e_i \wedge e_j \quad (a_{ij}=-a_{ji})$

を定義すると、そのn乗の外積は

$\wedge^{\, n} \omega =\omega \wedge \omega \wedge \cdots \wedge \omega = \frac{1}{n!} \operatorname{Pf}(A)e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_{2n}$

であり、自然な形でパフィアンが現れる。

記法

パフィアンを表す記法としては、Pf(A )のほかに、行と列の区別を排した

$\operatorname{Pf}(a_1,a_2, \cdots,a_{2n}), \,\,\, \operatorname{Pf}(1,2, \cdots, 2n) \quad ( \operatorname{Pf}(a_i, a_j)=a_{ij})$

といった記法がある。また、スコットランドの数学者トーマス・ミューアによって導入された行列式の記法|A |において右上半分だけ表示する、

$\left . \begin{matrix} |a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 2n}\\ & a_{23} & \cdots & a_{2 2n}\\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{2n-1 2n} \end{matrix} \right |$

も用いられる。

例

便宜上、F_2nの元である置換σを順列（σ(1), …,σ(2n)）の形で表すこととする。

n=1のケース

n=1のときのF₂の元は、(1,2)だけであり、その符号sgn(σ)は、+1であるから、

$\operatorname{Pf}(A)=a_{12}$

となる。

n=2のケース

n=2の場合には、F₄の元は(1,2,3,4), (1,3,2,4), (1,4,2,3) であり、それぞれの符号sgn(σ)は、+1,-1, +1であるから、

$\operatorname{Pf}(A)=a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23}$

となる。

性質

基本的な性質

最も基本的な性質は、交代行列A に対して、その行列式との間に成り立つ関係式

$\operatorname{det}(A)= ( \operatorname{Pf}(A))^2$

である。また、2n×2nの交代行列A と任意の2n×2n行列B に対して、

$\operatorname{det}({}^tBAB) =\operatorname{det}(B) \operatorname{Pf}(A)$

が成り立つ。

また、任意のn×n行列B について、

$\operatorname{Pf} \begin{pmatrix} 0 & B \\ -{}^tB & 0 \end{pmatrix} = (-1)^{n(n-1)/2}\det B$.

が成り立つ。

展開公式

2n×2nの交代行列Aに対し、Aからi,j行、i,j列を取り除いた2(n-2)×2(n-2)の交代行列をA^(i,j)と表すと

$\begin{align} \operatorname{Pf}(A) & = \sum_{j=1}^{2n} (-1)^{i+j}a_{ij}A^{(ij)} \\ & = \sum_{j=1}^{2n} (-1)^{i+j}\operatorname{Pf}(a_i, a_j) \operatorname{Pf}(a_1, \cdots, \hat{a_i}, \cdots , \hat{a_j}, \cdots, a_{2n}) \end{align}$

が成り立つ。但し、２行目において、ˆは、その成分をとり除くことを意味する。これは行列式における余因子展開に相当する。

参考文献

• Thomas Muir (sir.), A treatise on the theory of determinants", Macmillan and Co. (1882)
• Thomas Muir (sir.), The theory of determinants in the historical order of development, Macmillan and Co.(1906)
• Roe Goodman and Nolan R. Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants (Graduate Texts in Mathematics) Springer(2009) ISBN 978-0387798516
• 岡田聡一 『古典群の表現論と組合せ論〈上〉 (数理物理シリーズ)』 培風館 (2006) ISBN 978-4563006631
• 広田良吾 『直接法によるソリトンの数理』 岩波書店(1992) ISBN 978-4000056762
• 高崎金久『線形代数と数え上げ』日本評論社 (2012) ISBN 978-4535786806

関連項目

• 行列式