エルミート行列

数学においてエルミート行列（エルミートぎょうれつ、Hermitian matrix）とは、エルミート内積に関して自己共役（じこきょうやく）となる複素行列のことである。名称はシャルル・エルミートに由来する。

定義といくつかの性質

その成分が複素数である行列 A に対し、その随伴行列を A^* で表すとき

$A = A^*$

を満たす行列 A をエルミート行列と呼ぶ。定義から、A は正方行列でなければならない。エルミート行列 A は複素ベクトル x, y と標準エルミート内積 "(•, •)" に対し (Ax, y) = (x, Ay) を満たす。すなわち、エルミート行列はエルミート内積に関して自己共役な作用素（エルミート作用素）である。

複素行列 A = (a_ij) がエルミートであることを成分を用いて表せば、

$a_{ji} = \bar{a}_{ij}$

が任意の i, j について成立することと言い換えられる（ここで、• は • の複素共役をとる操作である）。特に、エルミート行列の主対角成分はすべて実数でなければならない。また、任意の複素正方行列 X = (x_ij) に対して

$\overline{x_{ji} + \bar{x}_{ij}} = \bar{x}_{ji} + x_{ij}$

であるから、和 X + X^* は常にエルミート行列になる。もっと一般に

$X = \frac{1}{2}(X + X^*) + \frac{1}{2}(X - X^*)$

は複素正方行列 X のエルミート成分・歪エルミート成分への分解を与える。

エルミート形式・複素二次形式

n 次エルミート行列 A と n 次元複素ベクトル x, y に対し、f(x, y) = x^*Ay とおくことにより定まる2変数（成分で見れば複素 2n 変数）の函数 f: Cⁿ × Cⁿ → C を対称半双線型形式 (symmetric sesquilinear form) あるいは エルミート形式 (Hermitian form) という。半双線型とは、第一の変数 x に関して反線型で、第二の変数 y に関して線型となることをいう。また、ここでいう（共役）対称性あるいはエルミート性は

$f(\mathbf{y},\mathbf{x}) = \overline{f(\mathbf{x},\mathbf{y})}$

となることを意味する。数ベクトル空間 Cⁿ の標準エルミート内積はエルミート形式である。

エルミート形式 x^*Ay (A = (a_ij)) に対し、y = x = z := (z₁, z₂, ..., z_n) とおくことにより、 2n 個の複素変数 z₁, z₁, z₂, z₂, ..., z_n, z_n に関する斉二次の複素多項式

$A\{\mathbf{z}\} = \sum_{1 \le i,j \le n} a_{ij}\; \bar{z}_i z_j$

が得られる。これをエルミート行列 A に対応（associate; 付随）する（複素）二次形式あるいはエルミート（二次）形式といい、A をこの複素二次形式の係数行列という。定義から A{z} = z^*Az であるが、標準エルミート内積 (•, •) を用いれば A{z} = (z, Az) = (Az, z) などと表せる。また、

$a_{ji}\bar{z}_j z_i = \bar{a}_{ij}\;\bar{\!\bar{z}}_i \bar{z}_j = \overline{a_{ij}\bar{z}_i z_j}$

と書けることに注意して、複素共役の性質を用いると

$A\{\mathbf{z}\} = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}|z_i|^2 + 2\sum_{1 \le i < j \le n} \mathfrak{Re}(a_{ij}\bar{z}_iz_j)$

という表示（ここで、Re • は • の実部）が得られるから、二次形式 A{z} の値は常に実数値をとる。また、あるユニタリ行列による変数変換で標準形

$\sum_{i=1}^{n}c_{i}|x_{i}|^{2} = c_{1}|x_{1}|^{2} + c_{2}|x_{2}|^{2} +\cdots+ c_{n}|x_{n}|^{2}$

に変換できる。これは、n 個の実変数 x₁, ..., x_n に関する通常の実二次形式であると看做すことができる。

エルミート行列と複素二次形式の実成分の場合の類似物として実対称行列と二次形式を捉えることができる。

正定値エルミート行列

エルミート行列 A は対応する複素二次形式 A{x} が正定値（すなわち零ベクトル以外の任意の x ∈ Cⁿ に対し A{x} > 0）であるとき正定値であるといい A > 0 で表す。同様に A{x} が半正定値（＝非負値）（すなわち任意の x ∈ Cⁿ に対し A{x} ≥ 0）であるとき半正定値（または非負値）であるといい A ≥ 0 で表す。

任意の複素行列 C に対して、CC^* は常に半正定値エルミートで、これが正定値であることと C が正則であることとは同値である。また、任意の半正定値エルミート行列 P に対して、P = CC^* を満たす適当な複素行列が常に存在する。

性質

エルミート行列は次の性質を持つ。

• エルミート行列の固有値は全て実数である。
• 正定値エルミート行列（対応するエルミート形式あるいは複素二次形式が正定値）の固有値は全て正の実数である。
• エルミート行列はあるユニタリー行列で対角化可能である。
• エルミート行列は正規行列であり ( AA^* = A^*A ) が成り立つ。

関連項目

• 対称行列
• 随伴行列
• 正規行列
• 歪エルミート行列