直交行列

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直交行列(ちょっこうぎょうれつ, orthogonal matrix)とは n × n行列 M転置行列MT と表すときに、MTM = M MT = E を満たすような正方行列のことである。ただし、 En 次の単位行列

有限次元計量ベクトル空間の直交変換は、実直交行列(成分が全て実数の直交行列)によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは(必ずしも有限次元でない)実計量ベクトル空間 V において内積を変えない(等長性をもつ)線形変換 f のことである。すなわち、 v, wV の任意のベクトルとするときに、(f(v), f(w)) = (v, w) が成り立つ。ただし、(·, ·) は内積を表す。

定義[編集]

n次正方行列 M の 転置行列 M^TMの逆行列になっているとき、すなわちM^T = M^{-1}を満たすとき、M直交行列という。

直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間 V の任意のベクトル v, w に対し、内積を (v, w) = v^T w とする。v, w が行列 M により Mv, Mw に変換されたとき、内積は

 (Mv, Mw) = (Mv)^T Mw = v^T M^T M w

となるので、行列 M が直交行列であるのは計量ベクトル空間 V の内積を変えないときに限る。

n 次直交行列全体の集合を n直交群orthogonal group)といい、O(n)と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群special orthogonal group)といい、SO(n)と書く。

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回転行列

2次元[ユークリッド空間]において、原点を中心に角 θ の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。

\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
置換行列

2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。

\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
反射行列

反射行列 H は、単位ベクトル u を以下のように反転させる性質を持ち、ハウスホルダー変換に使用される。

Hu=-u

性質[編集]

  • 直交行列の行列式の値は ±1 である。実際、行列 A が直交行列なら行列式の性質から
1 = \det (E) = \det (A A^{-1}) = \det (A A^T) = \det (A) ^2 となる。
  • n 次行列 An 個の列ベクトル(行ベクトル)v_1, v_2, ... , v_n を並べたものとみなしたとき、直交行列の定義 AAT=Ev_1, v_2, ... , v_nが正規直交基底になる条件と同値である。
  • n 次の直交行列 An 次の列ベクトル x が与えられた時、ノルムを ‖•‖ で表せば、 ‖Ax‖ = ‖x‖ である。

参考文献[編集]

  • 齋藤 正彦 『線型代数入門』 東京大学出版会〈基礎数学〉、1995年ISBN 978-4130620017
  • 佐武 一郎 『線型代数学』 裳華房〈数学選書〉、1974年ISBN 978-4785313012
  • Gilbert Strang (2007). Computational Science and Engineering. Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-0961408817. 

関連項目[編集]

脚注[編集]