角運動量

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角運動量
angular momentum
量記号 L
次元 M L 2 T −1
種類 擬ベクトル
SI単位 ニュートンメートル秒 (N·m·s)
プランク単位 有理化されたプランク定数 (ℏ)
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古典力学
歴史

角運動量(かくうんどうりょう、英語angular momentum)とは、運動量モーメントを表す力学の概念である。

定義[編集]

位置 \boldsymbol{r} において、運動量 \boldsymbol{p} を持つ質点の角運動量 \boldsymbol{L} は、次で定義される。

\boldsymbol{L} \equiv \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}

ここで、\times外積である。

質点の質量がm, 速度が \boldsymbol{v}の場合は、

\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times m\boldsymbol{v}
 = m \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v}

となる。角運動量の大きさ L は次のように表される。

L=rp\,\sin \theta

ここで、\theta\boldsymbol{r}\boldsymbol{p} のなす角を示す。

複数の質点(質点系)の場合, 各質点の角運動量の総和を全角運動量という。すなわち、全角運動量を\boldsymbol{L}, 質点iの角運動量を\boldsymbol{L}_iとすると,

\boldsymbol{L}\equiv\sum_i\boldsymbol{L}_i

である。

全角運動量は, 重心の角運動量(全質点の質量を持つような質点が重心にあると考えた時のその角運動量)\boldsymbol{L}_Gと, 重心まわりの回転の角運動量\boldsymbol{L}_Rとの和とみなすことができる:

\boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}_G+\boldsymbol{L}_R

特に, 剛体の場合は, 後者は, 慣性テンソルIを用いて, 次のように書ける:

\boldsymbol{L}_R=I \boldsymbol{\omega}

ここで, \boldsymbol{\omega}角速度ベクトルである。

回転運動と角運動量[編集]

固定された回転軸をもつ系に対して、力を作用させた時の物理量の関係。力のモーメント τ と、位置 r と力 F との関係(上の式)、および角運動量 L と位置 r と運動量 p との関係(下の式)。

角運動量は回転運動と深く関係している物理量である。ただし、角運動量自体は回転運動をしていなくとも定義される物理量である。

回転の運動方程式[編集]

角運動量は運動方程式に対応して、回転の運動方程式

\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{N}

を満たす。ここで、 \boldsymbol{N} \equiv \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} は物体に作用する力のモーメントである。

力が動径方向(\boldsymbol{r} 方向)にあるか、あるいは力が働いていないときは \boldsymbol{N}=0 となり、したがって、このとき角運動量は時間とともに変化しなくなる。このことを角運動量保存の法則(角運動量の保存則)という。

保存則が成り立っている物体に加わっている力、すなわち動径方向を向いた力は、その大きさをf(r)とすると、次のように表すことができる。

\boldsymbol{F} = f(r) \hat{\boldsymbol{r}},~
\hat{\boldsymbol{r}}\equiv \frac{\boldsymbol{r}}{r}

この力は中心力と呼ばれる。

惑星間に働く万有引力は中心力であり、したがって、惑星の角運動量は保存される。保存則は、ケプラーの第2法則「面積速度一定」と密接な関わりがある。単位時間当たりに惑星の掃く面積は、次のように表され、

\frac{dS}{dt} = \frac{1}{2}r\frac{ds}{dt}=\frac{1}{2}rv=\frac{1}{2m}L

したがって、掃かれる面積の時間による変化率が一定ならば、角運動量も一定の値をとる。

\frac{dS}{dt} = h \Leftrightarrow L = 2mh

等速直線運動においては運動量 \boldsymbol{p} が時間によらず一定であるのに対し、等速円運動においては、運動量の大きさは一定であるが、向きは時間により変化する。外力 \boldsymbol{F} が加わらないとき、力のモーメント \boldsymbol{N} = 0 であり、角運動量は等速直線運動でも等速円運動でも時間によらず一定となる。

円運動[編集]

原点を中心とした円運動をしている質点の速度 \boldsymbol{v} は次のように表される。

\boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r},~
v = \| \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} \| = r \omega

ここで \omega角速度である。したがって、回転運動している質点の角運動量は

\boldsymbol{L} = m\boldsymbol{r} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})

ベクトル三重積の公式により、

\boldsymbol{L} = mr^2 \boldsymbol{\omega},~
L = mr^2 \omega

となる。

質点系の角運動量[編集]

多数の質点が混在する質点系の、力のモーメントと角運動量の関係を述べる。質点系の角運動量の時間的変化率\tfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N}は外力のモーメントに等しく、内力のモーメントに依存しない。これは次のように示される。 \,i番目の質点の角運動量を\vec{l_i}とすると、その質点の力のモーメント\vec{N_i}

\frac{d\vec{l_i}}{dt}=\vec{N_i}

また、\,i番目の質点に作用する力で表せば、

\vec{N}_i=\vec{r}_i\times (\vec{F}_i+\sum_{j} \vec{F}_{ij})        ......... (1)

となるが、内力の部分の力のモーメントについては、運動の第3法則\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}により、

\vec{r}_i\times \vec{F}_{ij}+\vec{r}_j\times \vec{F}_{ji}=(\vec{r}_i-\vec{r}_j)\times \vec{F}_{ij}        ......... (2)

の関係が成り立つ。内力がもし中心力であるならば, 内力の向き\vec{F}_{ij}はちょうど\,i番目と\,j番目の質点間を結ぶベクトル(\vec{r}_i-\vec{r}_j)と同じ向きであることから、(2)は0となり、力のモーメント(1)の総和をとれば、質点系での内力のモーメントは

\sum_{i} \vec{r}_i\times \sum_{j} \vec{F}_{ij}=0\,\,\,\,\,(i\ne j)

となる。したがって、質点系での力のモーメントの総和\vec{N}は外力のモーメントでだけの和で与えられ、角運動量の総和を\vec{L}とすれば次式のようになる。

\vec{N}\equiv \sum_{i} \vec{N}_i=\sum_{i} \vec{r}_i\times \vec{F}_i=\sum_{i} \frac{d\vec{l}_i}{dt}=\frac{d\vec{L}}{dt},\,\,\,\,\,\sum_{i} \vec{l}_i\equiv \vec{L}

ゆえに、質点系の全角運動量\vec{L}の時間的変化の割合は、外力のモーメントの和に等しくなる(ただし、内力が中心力である, つまり内力がモーメントを生じないことが条件)。

量子力学での角運動量[編集]

量子力学では、角運動量は以下の交換関係を満たす演算子 \hat{\boldsymbol{J}} として定義される。

[\hat{J}_x, \hat{J}_y] = i\hat{J}_z,~
[\hat{J}_y, \hat{J}_z] = i\hat{J}_x,~
[\hat{J}_z, \hat{J}_x] = i\hat{J}_y

あるいは、3つの式をまとめて

[\hat{J}_i, \hat{J}_j] = i\epsilon_{ijk}\hat{J}_k

\epsilon_{ijk}完全反対称テンソルである。これらの交換関係は角運動量代数と呼ばれる。

この角運動量の性質を調べると、

\hat{\boldsymbol{J}} = \hat{\boldsymbol{L}} + \hat{\boldsymbol{S}}

の二つの部分に分けられ、それぞれが角運動量代数を満たす。

[\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\epsilon_{ijk}\hat{L}_k,~
[\hat{S}_i, \hat{S}_j] = i\epsilon_{ijk}\hat{S}_k,~
[\hat{L}_i, \hat{S}_j] = 0

軌道角運動量 \hat{\boldsymbol{L}} は、 \hat{\boldsymbol{L}} = \hat{\boldsymbol{r}} \times \hat{\boldsymbol{p}} のように位置と運動量の外積で表すことができ、その固有値が整数のみに限られる。

スピン角運動量 \hat{\boldsymbol{S}} は、位置と運動量では表現することができず、その固有値が整数に加えて半整数も許される。

対称性との関係[編集]

角運動量は空間の等方性(回転対称性)に対応する保存量である。 空間の一様性(併進対称性)に対応する保存量である運動量、時間の一様性に対応する保存量であるエネルギーとともに、基本的な物理量である[1]。それぞれ「角運動量保存の法則」、「運動量保存の法則」、「エネルギー保存の法則」に関連づけられる。

脚注[編集]

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参考文献[編集]

関連項目[編集]