力のモーメント

力のモーメント（ちからのモーメント、英語：moment of force）は、力学における質点に回転運動を与える力のモーメント（能率）である。力の能率（ちからののうりつ）とも呼ばれる。単位は通常 ニュートンメートル(N·m)。とくに機械などの固定された回転軸において、回転軸のまわりの力のモーメントをトルク（torque）またはねじりモーメントと呼ぶ。

概要

一つの力のみが影響し、その作用線上に剛体の重心がある場合、剛体は回転せずに平行に移動するが、力の作用線上に重心がないときには、剛体は回転する。

剛体にいくつかの力が影響しているとき、その剛体は回転する場合と回転しない場合があるが、回転しないときは力のモーメントが釣り合っている、という。 一般に、力のモーメントの値は回転の軸をどこに取るかによって変わる。しかし、剛体が回転していないとき、あるいは一定の回転を続けているときは、剛体のどこを基準に力のモーメントを取っても力のモーメントの和は 0、つまり釣り合っている。

物体を回転させるために必要な力は、どこを押すかによって異なり、回転軸(中心)からの距離に反比例する(てこ参照)。一方、物体をある角度だけ回転させるモーメントは、力を作用させる点によらない量であり、一定である。

ある力のモーメントは、同じ軸のまわりの別の作用点に働くモーメントで置き換えることができる。同じ軸を中心とするモーメント同士を合成したり、またひとつのモーメントを複数のモーメントに分解することもできる。力のモーメントを、平行で同じ大きさをもち、反対向きの2つの力に分けたとき、その力をとくに偶力とよぶ。

定義

力のモーメントの大きさは力の大きさ F と、力の作用線と回転の中心との距離 d の積 Fd で表される。

力のモーメントを次のようなベクトルの外積として定義する。

$\boldsymbol{N}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}$

複数の力が影響しているとき、その剛体にかかる力のモーメントは全ての力のモーメントのベクトルの和となる。モーメント N は、N の向きを進行方向とする右ねじの回りに物体を回転させる。腕の長さ d が長いほうが物体を回転させる効果が大きいことがわかる。

物体の慣性モーメントI、角加速度α、力のモーメント N のあいだには、ニュートンの運動方程式とよく似た関係が成り立つ。

$I\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{N}$

回転運動と直線運動

回転運動に関する量のあいだには、直線運動で成り立つ法則に対応する類似の法則を見出すことができる。というよりも法則が似るように回転運動での量を定義したのである。したがってトルクは力ではなく力のモーメントであり、慣性モーメントは質量に距離の2乗をかけたものである。対応する量は次元からみて別のものであることに注意する必要がある。

回転運動と直線運動の対応一覧

量	回転運動		直進運動
運動方程式	$I\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{N}$		$m\boldsymbol{a}=\boldsymbol{F}$
位置、変位	角度	$\boldsymbol{\theta}$	位置、距離	$\boldsymbol{r}$
速度	角速度	$\omega={d\theta \over dt}={\boldsymbol{v} \over \boldsymbol{r}}$	速度	$\boldsymbol{v}={d\boldsymbol{r} \over dt}$
加速度	角加速度	$\alpha={d\omega \over dt}={d^2\theta \over dt^2}$	加速度	$\boldsymbol{a}={d\boldsymbol{v} \over dt}={d^2\boldsymbol{r} \over dt^2}$
力	トルク	$\boldsymbol{N}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}$	力	$\boldsymbol{F}$
慣性	慣性モーメント	$I=mr^2$	質量	$m$
運動量	角運動量	$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}$	運動量	$\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}$
力と運動量	$\boldsymbol{N}={d\boldsymbol{L} \over dt}$		$\boldsymbol{F}={d\boldsymbol{p} \over dt}$
運動エネルギー	${1\over 2}I\omega^2$		${1\over 2}mv^2$
仕事	$|\boldsymbol{N}||\theta|$		$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{r}$
仕事率	$|\boldsymbol{N}||\omega|$		$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v}$
ダンパーとばねに発生する力を 考慮した運動方程式	$I\alpha+c\omega+k\theta=N$		$ma+cv+kx=F$

関連項目

• 加速度
• 慣性計測装置