ラグランジュ力学

古典力学

$\boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \boldsymbol{v})$ 運動の第2法則

歴史 分野 静力学 · 動力学 / 物理学における動力学 · 運動学 · 応用力学 · 天体力学 · 連続体力学 · 統計力学 定式化 ニュートン力学 解析力学: ラグランジュ力学 ハミルトン力学 基本概念 空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 準拠枠 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 力学的仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理 主要項目 剛体 · 剛体の力学 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転運動 · 等速円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度 科学者 アイザック・ニュートン · エレミア・ホロックス · レオンハルト・オイラー · ジャン・ル・ロン・ダランベール · アレクシス・クレロー · ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ · ピエール＝シモン・ラプラス · ウィリアム・ローワン・ハミルトン · シメオン・ドニ・ポアソン

ラグランジュ力学（英語：Lagrangian mechanics）は、一般化座標と一般化速度を基本変数として記述された古典力学である。フランスの物理学者ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが創始した。後のハミルトン力学と同様にニュートン力学を再定式化した解析力学の一形式である。

概要

作用積分

$S[\boldsymbol{q}(t)] = \int_{t_I}^{t_F} L(\boldsymbol{q}(t) , \dot{\boldsymbol{q}}(t) , t) dt$

ラグランジアン（ラグランジュ関数)

$L(\boldsymbol{q}(t),\dot{\boldsymbol{q}}(t),t)\equiv T - V$

オイラー・ラグランジュの運動方程式

$\frac{d}{dt}\frac{\partial{}L}{\partial{}\dot{q}_i}-\frac{\partial{}L}{\partial{}q_i}=0$

これは最小作用の原理 δS = 0 から導かれ、ニュートンの運動方程式と同等である。

$T\$運動エネルギー $\qquad V$ポテンシャルエネルギー $\qquad q_i$一般化座標 $\qquad \dot{q_i}$一般化座標の時間微分

ハミルトン系とラグランジュ系は，ルジャンドル変換を通して等価であることは良く知られている。但し、ラグランジアンが退化している場合は、ルジャンドル変換が微分同相写像ではなくなり、ラグランジュ系からハミルトン系へ移行することができなくなる。この退化している場合の処方として，ディラックの拘束理論が知られている。

場の理論におけるラグランジュ力学

場の理論、特に相対論的な場の理論の場合では、ラグランジュ力学から出発するのが一般的である。その方が相対論的不変性などの対称性が見やすいからである。

関連記事

• オイラー＝ラグランジュ方程式
• 最小作用の原理
• ハミルトン力学

外部リンク

• （百科事典）「Lagrangian mechanics」 - スカラーペディアにある「ラグランジュ力学」についての項目。（英語）