ローレンツ力

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ローレンツ力（ローレンツりょく、英: Lorentz force）は、電磁場中で運動する荷電粒子が受ける力のことである。 名前はヘンドリック・ローレンツに由来する。

概要

電場 $\boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{x})$ と磁束密度（磁場） $\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{x})$ の空間中を運動する荷電粒子（位置 $\boldsymbol{r}(t)$、速度 $\boldsymbol{v}(t)$、電荷 q）に作用する電磁気的な力 $\boldsymbol{F}$ は

$\boldsymbol{F}(t) = q\boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r}(t)) +q\boldsymbol{v}(t) \times \boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r}(t))$

である。この $\boldsymbol{F}$ をローレンツ力と言う。 × はクロス積である。

上式で右辺第一項は電場中で荷電粒子が受ける力でありクーロン力とも呼ばれる。 第二項はビオ＝サバールの法則を一般化した形となっている。 ここで荷電粒子が加速度運動している（ローレンツ力によっても加速度運動となっている）とすると、その荷電粒子自身による電磁場の効果が存在するが、その影響はごく小さい場合が多いので通常は無視されるか、ごく小さなものとして扱われる。

$\boldsymbol{\mathit{F}} = q(\boldsymbol{\mathit{v}}\times\boldsymbol{\mathit{B}})$

と近似することができる。

荷電粒子の速度 v と磁場 B のクロス積 がローレンツ力 F であることは、フレミング左手の法則で向きを確認できる。

ローレンツ力と仕事

ローレンツ力のする仕事は

$\begin{align} dW &= \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} \\ &= q(\boldsymbol{E} +\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{r} \\ \end{align}$

である。 ここで、磁場による力の項は、

$\begin{align} dW_m &= q (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{r} \\ &= q \boldsymbol{v} \cdot (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})dt = 0 \\ \end{align}$

であり、磁場は仕事をしない。ここで v = dr/dt を用いた。

電場による力の項は、

$\begin{align} dW_e &= q \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{r} \\ &= q \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{E} dt = w\, dt \\ \end{align}$

である。この電場による仕事量は、巨視的に見るとジュール熱に相当する。

磁場による力は速度と直交する方向に生じるので、運動の向きを変えるだけで粒子の運動エネルギーは変化しない。エネルギーの移動は電場により生じている。

ローレンツ力と電磁力

電荷 q_i の時刻 t における位置を r_i、速度を v_iとすると、電荷密度 ρ 、電流密度 j は、

$\rho(t, \boldsymbol{x}) = \sum_i q_i \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t))$

$\boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{x}) = \sum_i q_i \boldsymbol{v}_i(t) \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t))$

と表すことができる。δ(x)はディラックのデルタ関数である。

ローレンツ力は多数の粒子系に対しては

$\boldsymbol{F}(t) = \sum_i q_i \left( \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{r}_i(t)) + \boldsymbol{v}_i(t) \times \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{r}_i(t)) \right)$

となる。ここで、

$\boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{r}_i(t)) = \int \!\! d^3x\, \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t)) \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{x})$

$\boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{r}_i(t)) = \int \!\! d^3x\, \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t)) \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x})$

として、和と積分を入れ替えると、

$\boldsymbol{F}(t) = \int \!\! d^3x\, \left( \rho(t, \boldsymbol{x}) \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{x}) + \boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{x}) \times \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x}) \right)$

このようにミクロな粒子に作用する力(ローレンツ力)から、マクロな粒子系に作用する力(クーロン力及びアンペール力)が導かれた。

相対論的な表示

相対論的には位置と時間は4元ベクトル $x^\mu = (ct, \boldsymbol{x})$ として表される。 また、電場と磁場は反対称テンソル $F_{\mu\nu}$ で表される。

$(E_1, E_2, E_3) = (F_{01}, F_{02}, F_{03}),~ (B_1, B_2, B_3) = (F_{32}, F_{13}, F_{21})$

粒子の位置を z で表すと、ローレンツ力 f は

$f_\mu = q\dot{z}^\nu F_{\nu\mu}(z)$

として表される。

ローレンツ力の向き

ローレンツ力：

$\boldsymbol{\mathit{F}} = q(\boldsymbol{\mathit{v}}\times\boldsymbol{\mathit{B}})$

の向きを示すフレミング左手の法則がある。

ローレンツ力の向きを表す右手の法則

また、右手の姿で示す方法もある。

関連項目

• マクスウェルの方程式
• フレミング左手の法則
• 電磁気学