クーロンの法則

電磁気学

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クーロンの法則（クーロンのほうそく、英語:Coulomb's law）とは、荷電粒子間に働く反発し、または引き合う力がそれぞれの電荷の積に比例し、距離の2乗に反比例することを示した電磁気学の基本法則。

ヘンリー・キャヴェンディッシュにより1773年に実験的に確かめられ、シャルル・ド・クーロンが1785年に法則として再発見した。磁荷に関しても同様の現象が成り立ち、これもクーロンの法則と呼ばれる。一般的にクーロンの法則と言えば、通常前者の荷電粒子間の相互作用を指す。

また、導体表面上の電場はその場所の電荷密度に比例するという法則も「クーロンの法則」と呼ばれる。こちらは「クーロンの電荷分布の法則」といい区別する。

概要

クーロンの法則は1785年から89年にかけて発見されたが、それまでの電磁気学(確立していないがそれに関する研究)は、かなり曖昧で定性的なものであった。 電磁気学は、1600年にギルバートはコハクが摩擦でものを引きつける現象から、物質を電気性物質、非電気性物質として区別したことに始まり、1640年にはゲーリケによって放電が確認された。

18世紀に入った1729年にグレイが金属が電気的性質を伝えることを発見し、その作用をおこす存在を電気と名付けた。彼はギルバートの電気性物質の区別を、電気を導く物質として導体、電気を伝えない物質を不導体と分類した。1733年、デュ・フェが摩擦によって生じる電気には二つの性質があり、同種間では反発し、異種間では引き合うこと、そして異種の電気を有する物質どうしを接触させると中和して電気的作用を示さなくなることを発見した。1746年にはライデン瓶が発明され、電気を蓄える技術を手に入れた。1750年には検電器が発明され、これらからフランクリンが電気にプラスとマイナスの区別をつけることでデュ・フェの現象を説明した。

フランクリンの手紙に示唆されて、プリーストリーは1766年に中空の金属容器を帯電させ、内部の空気中に電気力が働かないことを示し、重力との類推から電気力が距離の2乗に反比例すると予想した。1769年にジョン・ロビソン(John Robison)は実験により同種電荷の斥力は距離の2.06乗に反比例し、異種電荷の引力は距離の2以下のベキに反比例することを見いだした。しかしこの結果は1803年まで公表されなかった。1773年にイギリスのキャヴェンディッシュは同心にした2個の金属球の外球を帯電させ、その二つを帯電させたときに内球に電気が移らないことから逆二乗の法則を導き出した。これはまさにクーロンの法則であり、クーロンよりも早く、しかも高い精度で求めていた。しかし、彼は研究資料を机にしまい込んで発表しなかったためにおよそ100年の間公表されなかった。

1785年にクーロンはねじり天秤を用いて、荷電粒子間にはたらく力が電荷量の二乗に比例し、距離の二乗に反比例するという法則、すなわち以下でしめされるクーロンの法則を導きだした。

$F=k\frac{q_1q_2}{r^{2+\delta}}$

ここで $q_1$, $q_2$ は荷電粒子の電荷量。$r$ は粒子間の距離。$k$ は比例定数。

$F$ は $q_1\cdot q_2>0$ ならば斥力を表し、$q_1\cdot q_2<0$ ならば引力を表す。 これは実験から見出したもので距離の指数 2+δ は物理量で有効数字をもち、現在もより精密な実験により更新されている。 キャヴェンディッシュによる実験では |δ|=1/50 であり、マクスウェルの実験では |δ|=1/21600 、現在の値では|δ|<2×10^-9 であることが確かめられている。このため実用的には通常距離の二乗としている。 この実験の成果からこの法則をクーロンの法則と呼ぶ。また式中の定数 k をクーロン定数といい、この式で表される力 $F$ をクーロン力（静電力、静電気力、静電引力）という。

クーロンの後にも電気力と距離の関係を求めようとした実験は少なくないが、必ずしも逆2乗則を支持するものではなかった。クーロンのねじり天秤は非常に敏感な装置であり、現代に行われた再現実験でも誤差が大きく、距離のベキが1～3乗程度になるという結論しか得られていない。クーロンの論文のデータの誤差は3、4％程度で、おそらく多くの測定の中から最も信頼できると思われるデータだけを報告したものと推察される。再現実験を行ったヘーリングは、「おそらくクーロンは理論的考察から逆2乗則を信じるようになり、それを実証しようとして実験したのであって、実験から逆2乗則を発見したのではなかろう」と結論している。ただしこの時代には最小二乗法などの誤差論が存在しなかったことにも留意する必要がある。

キャベンディッシュの研究資料は1870年に設立されたキャヴェンディッシュ研究所の初代所長マクスウェルによって公表された。マクスウェルはキャヴェンディッシュの方法を改良して追試をおこない、非常に高い精度でクーロンの法則を確かめている。

電荷に関するクーロンの法則

二つの電荷を帯びた粒子（荷電粒子）間に働く力の大きさは、二つの粒子の電荷($\ q_1$と$\ q_2$)の積に比例し、粒子間の距離$r$ の二乗に反比例する。同符号の電荷のあいだには斥力、異なる符号の電荷のあいだには引力が働く。 この力のことをクーロン力（またはクーロン相互作用）と呼ぶ。

$F=k\frac{q_1q_2}{r^2}$

ただしF を力の大きさ、q を電荷の大きさ、r を2物体間の距離とする。k は比例定数である。

q₁ = 1C, q₂ = 1C (単位C: クーロン、1C=1A·s) として粒子間距離 r を 1m に設定し、力を測定すると比例定数が求められる。これによると k = 8.9876×10⁹ N·m²·A^-2·s^-2 である。

ここで $k=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$ とおくと、 $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}$ と表せる。

国際単位系（SI）で記述すると比例定数ｋには（真空の）誘電率 ε₀ (= 8.854×10^-12 A²·s²·N^-1·m^-2)があらわれる。

方向まで考慮すると、

$\boldsymbol{\mathit{F}}=\frac{q_1q_2}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{1}{r^2}\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}} \qquad :\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}}=\frac{\boldsymbol{\mathit{r}}}{|\boldsymbol{\mathit{r}}|}= \frac{\boldsymbol{\mathit{r}}}{r}$

クーロン力は以下のようなクーロンポテンシャルから導くことができる。

$V_1(\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}}_1)= \frac{q_1\cdot{}q_2}{r}\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}}= V_2(\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}}_2)$

クーロン力は位置のみに依存する保存力であることがわかる。

磁荷に関するクーロンの法則

また、磁荷を帯びた粒子間に働く力に関しても距離の逆二乗の関係があり、発見者(同上)の名にちなんでこれもクーロンの法則という。 ただし、磁荷は電荷のように分割はできず（どんなに細かくしても必ずN極とS極が対になる）、現実には存在しない。ここでは仮想的な概念として磁荷を取り扱う。
F を力の大きさ、m を磁荷、k'を比例定数、$\ \mu_0$は真空の透磁率とすると

$F = k' \frac{m_1 m_2}{r^2}=\frac{m_1 m_2}{4 \pi \mu_0}\frac{1}{r^2}$

書き換えると、

$\boldsymbol{\mathit{F}}=m_1\boldsymbol{\mathit{H}}$

ただし、この定義はEHとなるため、磁荷の単位はWb(ウェーバ)となり$\boldsymbol{\mathit{H}}$の単位はA/m。$\boldsymbol{\mathit{B}}$で別表記すると

$\boldsymbol{\mathit{B}}=\mu_0\boldsymbol{\mathit{H}}$

と言う対応から、

$\boldsymbol{\mathit{F}}=\frac{m_1}{\mu_0}\boldsymbol{\mathit{B}}$

となる。また次のようにも考えられる

$m_1\boldsymbol{\mathit{H}}= m_1\frac{m_2}{4\pi\mu_0}\frac{1}{r^2}\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}}= \frac{m_1}{\mu_0}\boldsymbol{\mathit{B}}$

ゆえに、

$\boldsymbol{\mathit{B}}=\frac{m_2}{4\pi}\frac{1}{r^2}\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}}$

となる。

クーロン定数

クーロン定数 （クーロンていすう）
記号	$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$
系	プランク単位系、幾何学単位系
量	Q-2 M L3 T-2
SI	8.9876×109 [N·m2·A-2·s-2]

クーロン定数はよく自然単位系に用いられる。