ビオ・サバールの法則

電磁気学

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ビオ・サバールの法則（ビオ・サバールのほうそく、Biot-Savart law）とは電流の存在によってその回りに生じる磁場を計算する為の電磁気学における法則である。

この法則に於いては磁場は距離、方向、およその電流の大きさなどに依存することが論じられる。この法則は静的な近似の元ではアンペールの法則および磁場に対するガウスの法則と同等のものである。

1820年にフランスの物理学者ジャン＝バティスト・ビオとフェリックス・サバールによって発見された。

概要

微小な長さの電流要素 I d l によって r 離れた位置に作られる微小な磁場 d H は

$d\boldsymbol{H} = \frac{I d\boldsymbol{l} \times \hat{\boldsymbol{r}}}{4 \pi r^2}$

あるいは、

$d\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I d\boldsymbol{l} \times \hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}$　

で表される。(ここで$\hat{\boldsymbol r}$ ≡ r/r, r ≡ |r|, Bは磁束密度である。)

後者については、

$k_m = \frac{\mu_0}{4 \pi}$

として、

$d\boldsymbol{B} = k_m \frac{I d\boldsymbol{l} \times \hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}$

とも書かれる。 ここで定数k_mをクーロンの磁気定数、あるいは単純に磁気定数と呼ぶ。

電流がある程度の幅をもって流れているとき（すなわち、太さ無限小の線でなく領域 V を占めているとき）、電流密度 j を使った積分形で書く必要がある：

$\boldsymbol{H} =\int_V \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}') \times (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}')}{4 \pi |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|^3} d^3 \boldsymbol{r}'$

なお上式では左辺の磁場 H は微小量ではない。

この法則は静電場に対するクーロンの法則に対応するものである。

また、この法則は積分を実行して初めて有効な値が出る、すなわち実験的検証が間接的にならざるを得ない欠点がある。

歴史

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1820年4月、デンマークの物理学者ハンス・クリスティアン・エルステッドはコペンハーゲン大学での講義中、電気回路をいじっていた時近くにあった方位磁石が北ではない方角を指し示していることに気が付き、電流と磁場の関係について数か月の研究の末、電流の磁気作用を発表した。

これを受け、ジャン・バティスタ・ビオとフェリックス・サバールは共同で実験を行い、この法則を発表するに至った。さらにこの数ヵ月後にはフランソワ・アラゴーが電磁石の原理を、アンドレ・マリー・アンペールがアンペールの法則を発見している。これらの功績がエルステッドの発見から僅か一年以内のことであったのは驚くべきことである。

さらに3年後の1823年にスタージャンが実際に電磁石を作成し、24年にアラゴーは回転磁気を発見している。この1820年からの数年間は科学史上重要な期間である。

その他の形式

均一な電流

電流I が如何なる点においても一定の場合磁場Hは、

$\boldsymbol{H} = \frac{I}{4 \pi} \int \frac{d\boldsymbol{l} \times \hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}$

となる。

等速度運動する点電荷

点電荷q が一定の速度vで運動しているとき、特殊相対性理論とマクスウェルの方程式より以下の電場と磁場(磁束密度)が与えられる。

$\boldsymbol{E} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1-v^2/c^2}{(1-v^2\sin^2\theta/c^2)^{3/2}}\frac{\boldsymbol{\hat{r}}}{r^2}$

$\boldsymbol{B} = \boldsymbol{v} \times \frac{1}{c^2} \boldsymbol{E}$

ここで、θはvとrのなす角であり、cは光速度である。

vがcに対して十分に小さい($v^2 \ll c^2$)時は、近似的に

$\boldsymbol{E} =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\boldsymbol{\hat{r}}}{r^2}$ 、

$\boldsymbol{B} =\frac{\mu_0 q \boldsymbol{v}}{4\pi} \times \frac{\boldsymbol{\hat{r}}}{r^2}$

と表すことができる。

これら電場と磁場に関する式は、『点電荷に対するビオ・サバールの法則』と呼ばれ、1888年にオリヴァー・ヘヴィサイドによって導かれた。

計算例

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無限に長い直線電流の周りの磁場

ビオ・サバールの法則は積分することによりアンペールの法則の磁場と一致する。

例えば無限に長い直線電流であれば、図より、

$r = \frac{a}{\sin \theta} \qquad s = -\frac{a}{\tan \theta}$

となるから、

$\frac{ds}{d\theta} = \frac{a}{\sin^2 \theta}$

ビオ・サバールの法則を積分して、

$H = \frac{1}{4 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{I\sin \theta}{r^2}\, ds$

$=\frac{1}{4 \pi}\int_{0}^{\pi} \frac{I\sin \theta}{r^2}\frac{a}{\sin^2 \theta}\, d\theta = \frac{I}{4 \pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin \theta}{a}\, d\theta = \frac{I}{4 \pi a}\left[ -\cos \theta \right]_0^\pi$

$=\frac{I}{2 \pi a}$

よってこれはアンペールの法則の磁場の大きさと一致する。

立体角を用いた解析

以下のようにしてもビオ・サバールの法則からアンペールの法則が成り立つことを示すことができる。

閉経路C1から回路C2を俯瞰する立体角をΩとする。

閉経路C₁上の点Pから回路C₂を俯瞰する立体角をΩとする。 ここで閉曲線上を微小距離dsだけ移動した点をP'とすると、点P'から回路を俯瞰する立体角Ω+dΩは、-ds平行移動された回路を俯瞰する立体角と等しい。

このとき、回路上の微小長さds'と平行移動した微小距離-dsによって作られる面の面素ベクトルdSは

$d\boldsymbol{S} = d\boldsymbol{s'} \times -d\boldsymbol{s} = d\boldsymbol{s} \times d\boldsymbol{s'}$

であるが、点Pから回路上の微小長さds'へ向かうベクトルをrとすると、点Pから面素dSを見る立体角は

$\frac{d\boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{r}}{r^3} = \frac{(d\boldsymbol{s} \times d\boldsymbol{s'}) \cdot \boldsymbol{r}}{r^3} = \frac{(d\boldsymbol{s'} \times \boldsymbol{r})}{r^3} \cdot d\boldsymbol{s}$

と表すことができる。 これをds'に関して回路一周分積分すれば立体角の変化dΩを得ることができる。

$d\Omega\ = (\oint_{C_2} \frac{d\boldsymbol{s'} \times \boldsymbol{r}}{r^3}) \cdot d\boldsymbol{s}$

回路上の微小電流要素が点Pに作る磁場はビオ・サバールの法則を積分して、

$\boldsymbol{H} = \oint_{C_2} \frac{1}{4\pi} \frac{Id\boldsymbol{s'} \times (-\boldsymbol{r})}{r^3}$

と得られるが、この両辺にdsを乗じ、先の式を代入すると

$\boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{s} = -\frac{I}{4\pi} d\Omega$

の関係が得られる。 点Pが閉曲線C₁上を一周するようなΩの変化は

$\oint_{C_1} d\Omega = -4\pi$

であるので、

$\oint_{C_1} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{s} = I$

とする、アンペールの法則そのものが導かれる。

この場合、C₁で囲む領域D（図赤色）の面積をS₁とすると、面S₁に対する電流面密度の大きさjは

$j = \frac{I}{S_1}$

となるが、例えば閉曲線C₁が１周する間に回路C₂が３周するような場合には電流面密度の大きさは3j、 閉曲線C₁が２周する間に回路C₂が１周するような場合には電流面密度の大きさはj/2である。

このことを考慮すれば、

$\oint_{C_1} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{s} = \int_{D} \boldsymbol{j} \cdot d\boldsymbol{S_1}$

と書くことができる。

円形電流の中心付近に於ける磁場

アンペールの法則を使った場合では求めることが難しい場合も、ビオ・サバールの法則を用いることで簡易に計算できる場合がある。例えば円形電流の中心付近に発生する磁場を求める場合がそうである。 まず、右図のような半径aの円周上P点に存在する電流Iによって、中心Oに生じる磁場について考える。

中心に生じる磁場

dsとrの為す角度を$\phi\,\!$とおくと、図より

$d\boldsymbol{s} \perp \boldsymbol{r}$

となり、 また

$| \boldsymbol{r} | = a$

であるので、

$dH = \frac{1}{4 \pi} \frac{I\sin \phi\,\!}{a^2}\, ds = \frac{1}{4 \pi} \frac{I\, ds}{a^2}\,$

である。

これを円周上で積分して、

$H = \frac{1}{4 \pi} \frac{I}{a^2}\,\int_{0}^{2\pi a} ds = \frac{1}{4 \pi} \frac{2\pi aI}{a^2}\,$

$= \frac{I}{2a}$

となる。

次に、右図のようなOより面に垂直にzだけずれた位置Qに生じる磁場について考える。

中心よりzだけずれた位置に生じる磁場

図より、

$| \boldsymbol{r} | = \sqrt{a^2 + z^2}\, , \angle OPQ = \alpha$

である。

$d\boldsymbol{H}$はビオ・サバールの法則より$d\boldsymbol{s}$と$\boldsymbol{r}$に垂直で、面に平行な成分$dH_\parallel = dH\sin \alpha$は対称性により円周上を積分すると0になってしまうので、面に垂直な成分$dH_\perp = dH\cos \alpha$ のみを考えればよい。

$dH_\perp (z) = dH(z)\cos \alpha = \frac{1}{4 \pi} \frac{Ids}{a^2 + z^2} \frac{a}{\sqrt{a^2 + z^2}}$

ここで、$ds = a\, d\theta$であることを用いて、

$H_\perp (z) = \frac{1}{4 \pi} \frac{Ia^2}{(a^2 + z^2)^{3/2}} \int_{0}^{2\pi} d\theta$

これを積分して、

$H_\perp (z) = \frac{1}{4 \pi} \frac{2\pi\,Ia^2}{(a^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{Ia^2}{2(a^2 + z^2)^{3/2}}$

ここに於いて、z = 0とすれば、円の中心部に生じている磁場H_Oが得られる。

即ち、

$H_\perp (0) = H_O = \frac{I}{2a}$

であり、これは先ほど求めたものに一致する。

発散と回転

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発散

ビオ・サバールの法則の両辺の発散を取る。

$\mathrm{div} \boldsymbol{H} = \frac{1}{4 \pi} \int_V \mathrm{div} (\boldsymbol{j} \times \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}) d^3 \boldsymbol{r}'$

ここで、ベクトル解析の恒等式より

$\mathrm{div} (\boldsymbol{j} \times \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}) = -\boldsymbol{j} \cdot \mathrm{rot} \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}$

また、

$\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2} = -\mathrm{grad} \frac{1}{r}$

なので、これを代入すると、

$\mathrm{div} \boldsymbol{H} = \frac{1}{4 \pi} \int_V \boldsymbol{j} \cdot \mathrm{rot} (\mathrm{grad} \frac{1}{r}) d^3 \boldsymbol{r}'$

$\mathrm{div} \boldsymbol{H} = 0$

これは、磁場に対するガウスの法則より導かれる結果に等しい。

回転

ビオ・サバールの法則の両辺の回転を取る。

$\mathrm{rot} \boldsymbol{H} = \frac{1}{4 \pi} \int_V \mathrm{rot} (\boldsymbol{j} \times \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}) d^3 \boldsymbol{r}'$

ここで、ベクトル解析の恒等式より

$\mathrm{rot} (\boldsymbol{j} \times \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}) = (\mathrm{div} \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}) \boldsymbol{j} - (\mathrm{div} \boldsymbol{j}) \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}$

また、

$\mathrm{div} \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}= 4\pi \delta (r)$

なので、

$\mathrm{rot} \boldsymbol{H} = \frac{1}{4 \pi} \int_V 4\pi \delta (r) \cdot \boldsymbol{j} d^3 \boldsymbol{r}'$

積分を実行して、最終的に

$\mathrm{rot} \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j}$

が得られる。

これはアンペールの法則そのものである。 ただし、この書き換えは静磁場でのみ有効であることに留意しなければならない。

ベクトルポテンシャル

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磁場のベクトルポテンシャルが

$\boldsymbol{H} = \frac{1}{\mu} \mathrm{rot}\boldsymbol{A}$

などと定義出来るとき、

$\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} = -\mathrm{grad} \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}$

であるので、 ベクトルの恒等式、

$\mathrm{rot} \frac {\boldsymbol{j(\boldsymbol{r}')}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} = -\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}') \times \mathrm {grad} \frac {1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}$

からビオ・サバールの法則はベクトルポテンシャルAによって

$\boldsymbol{A} =\frac{\mu}{4 \pi} \int_V \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}')}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|} d^3 \boldsymbol{r}'$

と書き換えることになる。ここで、μは透磁率である。

また、先述のようにビオ・サバールの法則は静電場におけるクーロンの法則に対応するものであるが、同様に電場のスカラーポテンシャル$\phi\,\!$

$\boldsymbol{E} = -\mathrm{grad} \phi\,\!$

によって静電場におけるクーロンの法則、あるいはガウスの法則を書き換えると

$\phi\,\! =\frac{1}{4 \pi \varepsilon} \int_V \frac{\rho(\boldsymbol{r}')}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|} d^3 \boldsymbol{r}'$

となり対称性を見ることができる。ここでは、$\epsilon$は誘電率、ρは電荷密度である。

関連項目

• 物理学
• 電磁気学の年表

• 気象庁地磁気観測所
• 電磁ポテンシャル