マクスウェルの応力テンソル

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電磁気学
VFPt Solenoid correct2.svg


電気 · 磁性

マクスウェルの応力テンソル(マクスウェルのおうりょくテンソル、: Maxwell stress tensor)とは、電磁場応力テンソルである。 マクスウェル応力は電磁場の運動量の流れの密度を表す。

マクスウェル応力 T

\mathrm{T} \equiv
 \left( \boldsymbol{D}\otimes\boldsymbol{E}
 -\mathrm{I} \int\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{E} \right)
 +\left( \boldsymbol{B}\otimes\boldsymbol{H}
 -\mathrm{I} \int\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{H} \right)

で定義される。 真空中においては

\mathrm{T} =
 \epsilon_0 \left( \boldsymbol{E}\otimes\boldsymbol{E}
 -\mathrm{I}\, \frac{\boldsymbol{E}^2}{2} \right)
 +\frac{1}{\mu_0} \left( \boldsymbol{B}\otimes\boldsymbol{B}
 -\mathrm{I}\, \frac{\boldsymbol{B}^2}{2} \right)

となる。

概要[編集]

マクスウェル応力の電場に関する部分の発散

\begin{align}
\nabla\cdot\mathrm{T}_\text{e}
 &= \partial_i(D_i\boldsymbol{E}) -D_i\nabla E_i \\
 &= (\partial_iD_i)\boldsymbol{E}
 +D_i\partial_i\boldsymbol{E} -D_i\nabla E_i \\
 &= (\nabla\cdot\boldsymbol{D})\boldsymbol{E}
 +(\boldsymbol{D}\cdot\nabla_E)\boldsymbol{E}
 -\nabla_E (\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}) \\
 &= (\nabla\cdot\boldsymbol{D})\boldsymbol{E}
 -\boldsymbol{D}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) \\
\end{align}

となる。 ここでベクトル三重積の公式

\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})
 =\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})
 -(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}

を用いている。また、ナブラの添え字 E は E に作用する(D に作用しない)ことを明示している。 磁場の部分も考えて、マクスウェルの方程式を用いれば

\begin{align}
\nabla\cdot\mathrm{T}
 &= (\nabla\cdot\boldsymbol{D})\boldsymbol{E}
 -\boldsymbol{D}\times(\nabla\times\boldsymbol{E})
 +(\nabla\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{H}
 -\boldsymbol{B}\times(\nabla\times\boldsymbol{H}) \\
 &= \rho\boldsymbol{E}
 +\boldsymbol{D}\times\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}
 -\boldsymbol{B}\times\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}
 -\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{j} \\
 &= \frac{\partial(\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})}{\partial t}
 +\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B} \\
\end{align}

となる。 これを体積 V で積分すると、発散定理を用いて

\oint_{\partial V}d\boldsymbol{S}\cdot\mathrm{T}
 =\frac{\partial}{\partial t}\int_V (\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})dV
 +\int_V (\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B})dV

となる。 左辺は表面から流入する運動量を意味する。右辺第二項は分布電荷に作用するローレンツ力であり、体積内の分布電荷の運動量の時間変化を意味する。 従って、右辺第一項は電磁場の運動量の時間変化と解釈され、

\boldsymbol{g} = \boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B}

は電磁場の運動量密度を表す。

関連項目[編集]