マクスウェルの応力テンソル

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マクスウェルの応力テンソル（マクスウェルのおうりょくテンソル、英: Maxwell stress tensor）とは、電磁場における応力テンソルである。マクスウェル応力テンソルT は以下で定義される。

$T := \varepsilon _0 \left( \boldsymbol{E} \otimes \boldsymbol{E} - \delta_{ij} \frac{\boldsymbol{E}^2}{2} \right) + \frac{1}{\mu _0} \left( \boldsymbol{B} \otimes \boldsymbol{B} - \delta_{ij} \frac{\boldsymbol{B}^2}{2} \right)$

導出

マクスウェル応力テンソルは、分布電荷にかかるローレンツ力を変形する式の中に現れる。具体的な式変形の方法とは、マクスウェル方程式を用いて電荷や電流を電磁場で置き換えることである。書き換えた式には応力テンソルの他、電磁場の運動量も導き出され、マクスウェルの応力テンソルが運動量の輸送を表すことが導かれる。以下は式変形である。

$\begin{align} \boldsymbol{f} &= \rho \left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \right)\\ &= \rho \boldsymbol{E} + \boldsymbol{J} \times \boldsymbol{B}\\ &= \varepsilon_0 \boldsymbol{E} \operatorname{div} \boldsymbol{E} + \left( \frac{1}{\mu_0} \operatorname{rot} \boldsymbol{B} - \varepsilon_0 \frac{ \partial \boldsymbol{E} }{ \partial t } \right) \times \boldsymbol{B} + \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{B} \operatorname{div} \boldsymbol{B} - \varepsilon_0 \boldsymbol{E} \times \left( \operatorname{rot} \boldsymbol{E} + \frac{ \partial \boldsymbol{B} }{ \partial t } \right)\\ &= \varepsilon_0 \left(\boldsymbol{E} \operatorname{div} \boldsymbol{E} - \boldsymbol{E} \times \operatorname{rot} \boldsymbol{E}\right) + \frac{1}{\mu_0} \left(\boldsymbol{B} \operatorname{div} \boldsymbol{B} - \boldsymbol{B} \times \operatorname{rot} \boldsymbol{B}\right) - \frac{ \partial \left( \varepsilon_0 \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B} \right) }{ \partial t } \end{align}$

3行目の変形では常に 0 となる項を加えている。ここで、以下の式を利用して、上式をテンソルを用いた表示に変形する。

$\begin{align} & \boldsymbol{V} \operatorname{div}\boldsymbol{V} - \boldsymbol{V} \times \operatorname{rot}\boldsymbol{V} \\ &\quad =V^m \partial_n V^n - \epsilon^{ijm} V_i \epsilon^{nl}_{.j} \partial_n V_n\\ &\quad =V^m \partial_n V^n + V^n \partial_n V^m - \delta^{mn} V^l \partial_n V^l\\ &\quad = \partial_n \left\{ V^m V^n - \frac{1}{2} \delta_{mn} \left( V_l V^l \right) \right\}\\ &\quad= \nabla \cdot \left( \boldsymbol{V} \otimes \boldsymbol{V} - \frac{1}{2} \delta_{mn} \boldsymbol{V}^2 \right) \end{align}$

上式の結果を用いると、マクスウェル応力テンソルT を以下のように定義できる。

$T := \varepsilon _0 \left( \boldsymbol{E} \otimes \boldsymbol{E} - \delta_{ij} \frac{\boldsymbol{E}^2}{2} \right) + \frac{1}{\mu _0} \left( \boldsymbol{B} \otimes \boldsymbol{B} - \delta_{ij} \frac{\boldsymbol{B}^2}{2} \right)$

また、電磁場の運動量g を以下のように定義する。

$\boldsymbol{g} := \frac{ \partial \left( \varepsilon_0 \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B} \right) }{ \partial t }$

すると、分布電荷に働くローレンツ力は以下の式で表せる。

$\boldsymbol{f} = \nabla \cdot T - \frac{\partial \boldsymbol{g} }{\partial t}$

∇はベクトルではなく、テンソルに作用しているため、div T とは書けない。これを積分表示で表すこともできる。分布電荷に働くローレンツ力f を運動量の時間微分∂p /∂t で置き換えると、マクスウェル応力が、電磁場による運動量の輸送を記述することが示される。

$\oint_{S}^{} \mathrm{d} \boldsymbol{\mathit{S}} \cdot T = \frac{\partial}{\partial t}\int_{V}^{} \mathrm{d}V \left( \boldsymbol{p} + \boldsymbol{g} \right)$

関連項目

• テンソル