テンソル積

テンソル積（テンソルせき、tensor product）は、線型代数学で重線型性を扱うための線型化を担う概念で、既知のベクトル空間・加群から新たなベクトル空間を作り出す操作の一つである。テンソル積を繰り返して得られるテンソル空間は物理的なテンソルを数学的に定式化する。テンソル空間に種々の積を入れてさまざまな多重線型代数・クリフォード代数が定式化されるが、その基本となる演算がテンソル積である。

体上のテンソル積

F を体 とし、V, W を F 上のベクトル空間とする。V の基底 {ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n}, W の基底 {η₁, η₂, ..., η_m} に対し、対 (ξ_i, η_j) を

$\xi_i \otimes \eta_j$

と記し、スカラー λ ∈ F の作用が

$\lambda(\xi_i \otimes \eta_j) := (\lambda\xi_i) \otimes \eta_j = \xi_i \otimes (\lambda\eta_j)$

によって定められるものとする。このときこれらの生成する nm 次元ベクトル空間を

$V \otimes_F W := \mathrm{span}_F(\xi_i \otimes \eta_j | 1 \le i \le n, 1 \le j \le m)$

と書いて V と W のテンソル積（空間）とよぶ。 作用の入れ方からテンソル積空間自体は基底の取り方に依らずに定まり、⊗ を双線型な乗法と見て

$V \otimes_F W = \left\{\sum_i v_i \otimes w_i \mid v_i \in V, w_i \in W \right\}$

と書き表せる。さらに、テンソル積は以下の普遍性を持つ： X が F 上のベクトル空間で f: V × W → X が各成分に関して線型（双線型写像）であるとき、線型写像

テンソル積の普遍性

$\tilde{f}\colon V \otimes_F W \to X$

で V の任意の元 v と W の任意の元 w に対し

$\tilde{f}(v \otimes w) = f(v , w)$

を満たすものが唯一つ定まる。これにより、双線型性はテンソル積空間上の線型性として捉えることができる。また、F 上のベクトル空間 V から W への F-線型写像の全体 L(V, W) は双対空間を用いて

$V^* \otimes W \to L(V,W);\ (f,w) \mapsto f(\bullet)w$

なる同型によってテンソル積で書き表せる。もっと一般に、n 個のベクトル空間 W₁, ..., W_n のテンソル積はこれらの双対空間からの n 重 F-線型形式の空間 L(W₁^*, ..., W_n^*; F) とのあいだに同型

$W_1\otimes\cdots\otimes W_n \cong L(W_1^*,\ldots,W_n^*;F)$

を持つことによって特徴付けられる。

テンソル空間とテンソル

詳細は「テンソル空間」を参照

体 F 上で一つのベクトル空間 V が与えられたとき、V から函手的に作り出される空間として、代数的双対 V^* = Hom_F(V, F) とテンソル積を組み合わせて得られるテンソル空間と、その元としてテンソルを考えることができる。特徴的なものとして、p 次反変テンソル冪や q 次共変テンソル冪

$T^p(V) = V^{\otimes p} = \overbrace{V\otimes\cdots\otimes V}^{p\ \mathrm{times}},\quad T_q(V) = (V^*)^{\otimes q} = \overbrace{V^*\otimes\cdots\otimes V^*}^{q\ \mathrm{times}}$

などが挙げられる。一般には V と V^* の両方の現れるテンソル積空間を総称して、あるいはそれらを全て含む無限直和

$\bigoplus_{0\le p,q < \infty} T^p_q(V) \cong \bigoplus_{0\le p,q < \infty} T^p(V) \otimes T_q(V)$

として得られる二重次数付きベクトル空間を考えて、テンソル空間と呼ぶ。p 個の V と q 個の V^* から作られるテンソル空間は、テンソル積をとる順序の違いを除いて一意的に定まる（つまり、順序を変えたものは全て互いに自然な同型となる）。

テンソルとはこのテンソル空間の元の総称であって、V の p 個のベクトルと q 個の線型形式のテンソル積に書けるものを p-階反変 q-階共変テンソルあるいは (p, q)-型テンソルと呼ぶ。例えば、体 F の元（スカラー）ξ は 0-階のテンソル、V のベクトル v は 1-階の反変テンソルであり、V 上の線型形式 f は 1-階の共変テンソルであって、ベクトル v₁, v₂, ..., v_p, 線型形式 f¹, f², ..., f^q に対して

$v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_p,\quad f^1\otimes f^2\otimes\cdots\otimes f^q$

と表されるテンソルはそれぞれ分解可能な p-階反変テンソル、q-階共変テンソルとよばれる（一般の反変テンソルや共変テンソルは分解可能なそれの有限（線型）結合に書かれる）。また、1 階共変テンソル、1 階反変テンソルのことをそれぞれ共変ベクトル、反変ベクトルとも呼び、p も q も 0 でないような (p, q)-型テンソルを混合テンソルと呼ぶ。 (p,q) 型テンソルの標準基底による表示

$\sum \xi^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_q}\cdot e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}\otimes f^{j_1}\otimes\cdots\otimes f^{j_q}$

に対して、スカラー成分

$\xi^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_q}$

をこのテンソルの (i₁, ..., i_p; j₁, ..., j_q) に関する成分 (component) とよぶ。これが物理学で慣例的にテンソルと呼ばれているものである。たとえば 2 階のテンソルの成分

$\xi^i_j,\quad \eta^{ij},\quad \zeta_{ij}$

などは適当な方法で並べて行列

$(\xi^i_j)_{ij},\quad (\eta^{ij})_{ij},\quad (\zeta_{ij})_{ij}$

であるかのように記述されることも多い。ただしこれらのうちで実際に行列と見なせる（テンソル積をとって縮約するという演算について閉じていて、さらにそれが行列の積と同一視できる）のは最初の (1,1)-型のみで、あとのふたつはそうではない。とくに (1,1)-型の 2 階混合テンソルの成分は行列の積を用いて

$\mathbf{x}\otimes\mathbf{y} = \begin{pmatrix} x^1\\ \vdots^{\ } \\ x^n \end{pmatrix} (y_1,\ldots,y_n) = (x^i y_j)_{1\le i,j \le n}$

と看做すことができる（ベクトルの直積などとも呼ばれる）。また, このことは線型同型

$V \otimes V^* \simeq L(V,V) \simeq \text{Mat}_n(F)$

を与えるものとして理解することもできる。

基底のとりかえに対するテンソル（成分）の変換則は、テンソル積の（重）線型性として記述することができる。テンソル空間におけるテンソル積

$T^p_q(V)\otimes T^r_s(V) \to T^{p+r}_{q+s}(V)$

はテンソル成分に対してはその積として得られる。また、ベクトル v と線型形式 f に関して、<v, f> = f(v) は双線型であるから、そのこととテンソル積の普遍性によって縮約あるいは縮合 (contraction) と呼ばれる線型写像が

$\begin{align} T^p_q(V) & {}\ni v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_p\otimes f^1\otimes f^2\otimes\cdots\otimes f^q \\ &\quad\mapsto f^j(v_i)\cdot v_1\otimes\cdots\otimes\hat{v}_i\otimes\cdots\otimes v_p\otimes f^1\otimes\cdots\otimes\hat{f}^j\otimes\cdots\otimes f^q \in T^{p-1}_{q-1}(V)\end{align}$

を線型に拡張するものとして一意的に引き起こされる（ここで、"^" はその項を省略することを意味する）。これは成分でみれば、上下に現れる同じ添字の打ち消しを行うことに等しい。これはまた

$\begin{align} T^p(V)\otimes T_p(V) \ni {} &(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_p)\otimes(f^1\otimes f^2\otimes\cdots\otimes f^p)\\ &\quad\mapsto f^1(v_1)f^2(v_2)\cdots f^p(v_p) \in F\end{align}$

によって、T^p と T_p との双対性

$T_p(V) = (V^*)^{\otimes p} \cong (V^{\otimes p})^* = (T^p(V))^*$

を導く。

• 一般テンソル空間 $L(\mathrm{Flag}(V)/GL(V); T^p_q(V))$、擬テンソルetc

テンソル積の普遍性

R を環、M を右 R 加群、N を左 R 加群とする。 直積集合 M × N からアーベル群 X への写像 f: M × N → X が任意の m₁, m₂, m ∈ M, n₁, n₂, n ∈ N および r ∈ R に対し

1. $f(m_1+m_2,n)=f(m_1,n)+f(m_2,n)$
2. $f(m,n_1+n_2)=f(m,n_1)+f(m,n_2)$
3. $f(mr,n) = f(m,rn)$

を満たすとき、f は R-平衡写像（へいこうしゃぞう、balanced mapping; 均衡写像）であるという。さらに R が可換環であって、X が R 加群であるとき、平衡写像が条件 3 の代わりに

• $f(rm,n)=f(m,rn)=rf(m,n)$

を満たすなら、f は R-双線型であるという。R を環、M を右 R 加群、N を左 R 加群とする。このとき、つぎの 2 つの性質を満たすようなアーベル群 T と T 上の R 平衡写像 τ が一意的に存在する。

テンソル積の普遍性

1. T は Im(τ) で生成される。
2. X を任意のアーベル群とするとき、M × N 上の任意の平衡写像に対し、群の準同型 g: T → X で以下を満たすものが唯一つ定まる:
   • $f=g \circ \tau.$

この普遍性は M × N を生成系とする自由加群

$\mathbf{T} := \mathrm{span}\langle (m,n) \mid m\in M, n\in N\rangle_{\mathbb{Z}}$

をその（正規）部分群

$\mathbf{N} := \mathrm{span}\!\left\langle \begin{align} (m_1+m_2,n) &- \{(m_1,n)+(m_2,n)\},\\ (m,n_1+n_2) &- \{(m,n_1)+(m,n_2)\},\\ (mr,n) &- (m,rn) \end{align}\ \Bigg|\ \begin{align} m_1, m_2, m &\in M,\\ n_1, n_2, n &\in N,\\ r &\in R \end{align} \right\rangle_{\!\!\!\mathbb{Z}}$

で割って得られる商加群 T = T/N と標準単射・標準射影の合成 τ: M × N → T → T = T/N によって実現される。

このとき、アーベル群 T を M と N の R 上のテンソル積加群、平衡写像 τ をテンソル積の標準写像といい、

$M\otimes_R N := T, \otimes := \tau$

と記し、M × N の元 (m, n) の標準写像による像を

$m \otimes n \in M \otimes_R N$

で表す。

テンソル積の算術

R, S, T を環とし、M が (S, R)-両側加群、N が (R, T)-両側加群とするとき、 s ∈ S, t ∈ T に対し、写像

$(s,t)\colon M \times N \to M \otimes_R N ;\ (m,n) \mapsto (sm)\otimes(nt)$

は、M,N に関して R 平衡であるので,テンソル積の普遍性より、アーベル群の準同型

$M \otimes_R N \to M \otimes_R N ;\ m \otimes n \mapsto (sm)\otimes(nt)$

が導かれる。これにより M と N の R 上のテンソル積には (S, T)-両側加群の構造が入り、R が可換環であれば R-加群の構造が入る。さらに X が R-加群で f がM × N から X への双線型写像なら、f の誘導する写像

$\bar{f}\colon M \otimes_R N \to X$

は R-加群の準同型となる。以下のアーベル群の自然な同型が成り立つ:

1. 左分配律

右 R-加群 L, M, 左 R-加群 N に対し,

$(L \oplus M)\otimes_R N \cong (L \otimes_R N)\oplus(M \otimes_R N).$

2. 右分配律

右 R-加群 L, 左 R-加群 M, N に対し,

$L \otimes_R(M \oplus N) \cong (L \otimes_R M)\oplus(L \otimes_R N).$

3. 結合律

右 R-加群 L, (R, S)-両側加群 M, 左 S-加群 N に対し,

$(L \otimes_R M)\otimes_S N \cong L \otimes_R(M \otimes_S N).$

4. 交換律

M, N が両側 R-加群ならば

$M \otimes_R N \cong N \otimes_R M.$

特に R = S かつ R が可換環のとき、各加群を自然に R-両側加群と見なせば上の同型は全て R-加群の同型となる。また R-加群 M に対して

$M \otimes_R R \cong R \otimes_R M \cong M$

が成り立つ。あるいは単位的環 R 上の R-単位的多元環 A に対して、これを R ⊂ A なる R-加群とみたとき、R-加群 M とのテンソル積

$A \otimes_R M = \mathrm{span}\langle a\otimes m \mid a\in A, m\in M\rangle_{\mathbb{Z}}$

は A-加群となるが、これを R-加群 M の A への係数拡大とよぶ。これは自然な埋め込み

$M \hookrightarrow A\otimes_R M;\ rm \mapsto r\otimes m = 1_A \otimes rm$

によって M を R-加群の構造まで込めて含む。

テンソル積は右完全性を持つ函手である。

諸概念

線型写像のテンソル積

R を単位的環、M, M′ を右 R 加群、f: M → M′ を右 R 加群の準同型とし、 N, N′ を左 R 加群、g: N → N′ を左 R 加群の準同型とする。このとき

$M \times N \to M' \otimes_R N';\ (m,n) \mapsto f(m)\otimes g(n)$

が R 平衡写像であるので、テンソル積の普遍性からアーベル群の準同型（R が可換なら R 線型写像）

$f \otimes g\colon M \otimes_R N \to M' \otimes_R N'$

で、任意の m ∈ M, n ∈ N に対し

$(f \otimes g)(m \otimes n) = f(m) \otimes g(n)$

を満たすものがただ一つ存在する。これを線型写像 f と g のテンソル積と呼ぶ。

特に、ベクトル空間 V 上の変換群 GL(V) は変換 g: V → V に対して

$g(v_1\otimes\cdots\otimes v_p):= g(v_1)\otimes\cdots\otimes g(v_p) = (g\otimes\cdots\otimes g)(v_1\otimes\cdots\otimes v_p)$

と置くことにより、p-階反変テンソル冪 T^p(V) ひいては（反変）テンソル代数 T(V) に自己同型として作用する。この作用は、双対性から共変テンソルへは

$g(f^1\otimes\cdots\otimes f^q):= g^{\vee}(f^1)\otimes\cdots\otimes g^{\vee}(f^q)$

のように移る（ここで g^∨ は g の転置変換である）から、

$GL(V)\to GL(T^p_q(V));\ g \mapsto g^p_q := g^{\otimes p}\otimes(g^{\vee})^{\otimes q}$

が定まる。これは群 G = GL(V) のテンソル空間 T^p_q'(V) における表現である。

多元環のテンソル積

単位的可換環 K 上の多元環 A, B に対し、K 上の加群としての A と B のテンソル積には、A の任意の元 α, α' と B の任意の元 β, β' に対し

$(\alpha \otimes \beta)(\alpha' \otimes \beta') = (\alpha\alpha')\otimes(\beta\beta') \in A \otimes_K B$

となるような乗法が（矛盾無く線型に拡張することができるので）一意的に定義できて F 上の多元環となる。これを多元環 A, B の多元環としてのテンソル積と呼ぶ。このとき、α ∈ A, β ∈ B に対して写像

$A \to A \otimes_K B;\ \alpha \mapsto \alpha \otimes 1,$
$B \to A \otimes_K B;\ \beta \mapsto 1 \otimes \beta$

はともに多元環の埋め込みとなる。この埋め込みで A, B をテンソル積の部分多元環と見ると A, B は 元ごとに可換である。多元環のテンソル積は以下のような普遍性を持つ。A, B, C を K 上の多元環とし、二つの多元環の準同型 f: A → C, g: B → C が A の任意の元 α と B の任意の元 β について

$f(\alpha)g(\beta)=g(\beta)f(\alpha)$

を満たすなら、多元環の準同型

$h\colon A \otimes_K B \to C$

で、生成元の上では

$h(\alpha \otimes \beta) = f(\alpha)g(\beta)$

を満たすものが一意的に定まる。この普遍性からたとえば、A を K 上有限次元の多元環とすると、多元環としての同型

$M_n(F) \otimes_F A \cong M_n(A); (\lambda_{ij})_{i,j} \otimes \alpha\leftrightarrow (\lambda_{ij}\alpha)_{i,j}$

が成り立つことが従う。

行列のクロネッカー積

K を単位元持つ可換環とし、K 上で定義される二つの行列 X = (λ_ij), Y= (μ_kl) (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n′, 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ l ≤ m′) に対して、((i, k), (j, l))-成分が λ_ijμ_kl で与えられる (nm, n′m′) 型行列

$X \otimes Y = (\lambda_{ij}Y)_{i,j} = \begin{pmatrix} \lambda_{11}\mu_{11} & \cdots & \lambda_{11}\mu_{1m'} & \lambda_{12}\mu_{11} & \cdots & \lambda_{12}\mu_{1m'}& & \lambda_{1n'}\mu_{11} & \cdots & \lambda_{1n'}\mu_{1m'} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_{11}\mu_{m1} & \cdots & \lambda_{11}\mu_{mm'} & \lambda_{12}\mu_{m1} & \cdots & \lambda_{12}\mu_{mm'}& & \lambda_{1n'}\mu_{m1} & \cdots & \lambda_{1n'}\mu_{mm'} \\ \lambda_{21}\mu_{11} & \cdots & \lambda_{21}\mu_{1m'} & \lambda_{22}\mu_{11} & \cdots & \lambda_{22}\mu_{1m'}& & \lambda_{2n'}\mu_{11} & \cdots & \lambda_{2n'}\mu_{1m'} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_{21}\mu_{m1} & \cdots & \lambda_{21}\mu_{mm'} & \lambda_{22}\mu_{m1} & \cdots & \lambda_{22}\mu_{mm'}& & \lambda_{2n'}\mu_{m1} & \cdots & \lambda_{2n'}\mu_{mm'} \\ & \vdots & & & \vdots & & \ddots & & \vdots & \\ \lambda_{n1}\mu_{11} & \cdots & \lambda_{n1}\mu_{1m'} & \lambda_{n2}\mu_{11} & \cdots & \lambda_{n2}\mu_{1m'}& & \lambda_{nn'}\mu_{11} & \cdots & \lambda_{nn'}\mu_{1m'} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_{n1}\mu_{m1} & \cdots & \lambda_{n1}\mu_{mm'} & \lambda_{n2}\mu_{m1} & \cdots & \lambda_{n2}\mu_{mm'}& & \lambda_{nn'}\mu_{m1} & \cdots & \lambda_{nn'}\mu_{mm'} \end{pmatrix}$

を、X と Y のクロネッカー積と呼ぶ。これは全行列環の多元環としてのテンソル積の例であり、また n = n′, m = m′ のとき、適当に基底を取り X, Y をそれぞれ n 次元と m 次元のベクトル空間上の線型変換とみなすと、写像のテンソル積の例ともなる。さらにここから

$M_n(K) \otimes_F M_m(K) \cong M_n(M_m(K)) \cong M_{nm}(K)$

なる多元環の同型が成り立つこともわかる。

テンソル積の対称化・交代化

詳細は「テンソル代数」および「外積代数」を参照

ベクトル空間 V 上の反変テンソルの空間 T^p(V) たちの無限直和

$T(V) := \bigoplus_{p=0}^{\infty} T^p(V)$

を（反変）テンソル空間と呼び、T(V) にテンソル積を乗法とする次数付き環の構造を入れて考えるとき、（反変）テンソル代数と呼ぶ。同様に共変テンソルの空間 T_q(V) たちの無限直和

$T^*(V) := \bigoplus_{q=0}^{\infty} T_q(V) = \bigoplus_{q=0}^{\infty} T^q(V) = (T(V))^*$

を共変テンソル空間、共変テンソル代数あるいは双対テンソル代数と呼ぶ。

p-次対称群の置換 σ の T^p(V) への作用を、生成元である分解可能な元の上では

$\sigma(v_1\otimes\cdots\otimes v_p) := v_{\sigma^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma^{-1}(p)}$

となるようなものとして定めるとき、

$\begin{align} \mathcal{S} := \sum_{p=0}^{\infty}\mathcal{S}_p, & \left(\mathcal{S}_p := \frac{1}{p!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_p}\sigma\right),\\[16pt] \mathcal{A} := \sum_{p=0}^{\infty}p!\mathcal{A}_p, & \left(\mathcal{A}_p := \frac{1}{p!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_p} \mathrm{sgn}(\sigma)\cdot\sigma\right) \end{align}$

によって得られる反変テンソル代数 T(V) 上の線型変換をそれぞれ T(V) の対称化作用素、交代化作用素と呼ぶ。これらの作用素に対して

$tt' = \mathcal{S}(t\otimes t'),\quad t \wedge t' = \mathcal{A}(t\otimes t')$

を、それぞれ対称（テンソル）積、交代（テンソル）積という。交代積は外積あるいはグラスマン積とも呼ばれる。

対称化・交代化作用素から得られる、互いに直交する T^p(V) 上の射影子によって、直和分解

$T^p(V)=S^p(V)\oplus A^p(V), \quad (S^p(V):=\mathrm{Im}(\mathcal{S}_p), A^p(V):=\mathrm{Im}(\mathcal{A}_p))$

が与えられる。S^p(V), A^p(V) の元をそれぞれ V 上の p 次の対称テンソル、交代テンソルと呼ぶ。対称テンソルおよび交代テンソルの成す直和ベクトル空間

$S(V) := \bigoplus_{p=0}^{\infty} S^p(V), \quad A(V) := \bigoplus_{p=0}^{\infty} A^p(V)$

は、乗法としてそれぞれ S(V) に対称積を A(V) に交代積を与えると次数付き多元環になる。このとき、多元環 S(V) は V 上の対称代数、A(V) は V 上の外積代数（グラスマン代数）と呼ばれる。

共変テンソル代数に対しても、双対的な対称化作用素、交代化作用素を定めて同様の概念を定義することができる。

$T^*(V)=S^*(V)\oplus A^*(V),$
$S^*(V)=\bigoplus_q S_q(V),\quad A^*(V)=\bigoplus_q A_q(V)$

双対的な二つの外積代数に対して、A^p(V) の元を p-ベクトル、A_q(V) の元を q-形式と呼ぶことがある。V が 3 次元であるときの 2-ベクトルはベクトル積と通常は呼ばれているものである。

関連項目

• テンソル
• テンソル代数