アンペールの法則

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電磁気学
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電気 · 磁性

アンペールの法則(アンペールのほうそく)は電流とそのまわりにできる磁場との関係をあらわす法則である。1820年フランスの物理学者アンドレ=マリ・アンペールが発見した。

概要[編集]

現在一般に知られているアンペールの法則の記述は次のようなものである。閉じた経路にそって磁場の大きさを足し合わせる。すると、足し合わせた結果は閉じた経路を貫く電流の和に比例する。磁場の足し合わせは線積分でおこなう。

アンペールは実験で2本の電流のあいだに働く力を観測し、そして実験結果をアンペールの法則にまとめ、それ以前に発見されていた電磁気の現象を説明することに成功した。 アンペールは、電流を流すと、電流の方向を右ネジの進む方向として、右ネジの回る向きに磁場が生じることを発見した。図のように右手の親指を立てて手を握ると、電流の方向を親指の向きとした時、残りの指の向きが磁界の向きと一致するため右手の法則と呼ばれる。日本では右ねじの法則と呼ばれることも多い。

たとえば、無限に長い直線導線に電流を流す。このとき電流の回りには同心円上で右ねじ方向の磁場が出来る。閉じた経路として半径 r の同心円をとるとその上で磁場の大きさは等しく、これを H とする。アンペールの法則によれば、

2 \pi r H  \, = I

という関係が成り立つ。ただし I は電流、r は電流との距離。これを変形すると次の直線電流の磁場の公式、

H = \frac{I}{2 \pi r}

が得られる。これはビオ・サバールの法則積分したものと一致する。

一般式による表現[編集]

アンペールの法則は、周回積分・面積分によって一般式で表すと、下記のとおりとなる。

\oint_{\partial S} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \int_S \boldsymbol{J} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = I

ここで、

H : 磁場の強さ
J : 電流密度
I : 積分領域 S を貫く総電流
dl : 線素ベクトル
dS : 面素ベクトル
∂S : 面Sの境界

である。

この式は、ある面 S 内を電流が貫くと、その電流と等しい磁場が面の境界 ∂S で右ねじの法則に従った方向に生じるということを示している。

回転(rot)による拡張・数学的整備[編集]

アンペールの法則はジェームズ・クラーク・マクスウェルにより拡張と数学的整備を加えられて、マクスウェルの方程式の4つの方程式の1つになっている(アンペール-マクスウェルの式)。その正体は磁気におけるガウスの法則である。

電流場のループCの微小変化による周回積分(\oint_C \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = I)の変化率をrotH を使い、次式で表す。

(\boldsymbol{\mathsf{rot}} \boldsymbol{H})_n = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{1}{\Delta S}\oint_{\Delta C} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l}

ここでΔCはΔSの境界であり、(rotH)nとはΔSの法線方向の成分と言う意味である。

これを使うとアンペールの法則は

 \boldsymbol{\mathsf{rot}} \boldsymbol{H} = \boldsymbol{J}

と表すことができる。

rotはrotation(ローテーション)の略で「回転」の意味である。また微分演算子∇(ナブラ)を用いて、

 \nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{J}

と書くこともできる。これは前述のとおり、マクスウェルの方程式のひとつである。

参考文献[編集]

関連項目[編集]