曲率形式

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微分幾何学では、曲率形式(curvature form)は、主バンドル上の接続形式曲率を記述する。リーマン幾何学では、曲率形式は、リーマン曲率テンソルの代行物か一般化と考えることができる。

定義[編集]

G をリー代数 \mathfrak g をもつリー群とし、P → B を主 G-バンドルとする。P 上のエーレスマン接続英語版(Ehresmann connection)を ω とする。(エーレスマン接続は、P 上の \mathfrak g-に値を持つ 1-形式である。)

すると、曲率形式は P 上の \mathfrak g-に値を持つ 2-形式であり、

\Omega=d\omega +{1\over 2}[\omega,\omega]=D\omega

により定義される。

ここで、d外微分を表し、[\cdot,\cdot][\alpha \otimes X, \beta \otimes Y] := \alpha \wedge \beta \otimes [X, Y]_\mathfrak{g} により定義され、D は外積共変微分英語版(exterior covariant derivative)である。別な表現をすると、

\,\Omega(X,Y)=d\omega(X,Y) + [\omega(X),\omega(Y)]

である。

ベクトルバンドルの曲率形式[編集]

E → B をベクトルバンドルとすると、ω は 1-形式の行列をも考えることができるので、上の式は構造方程式英語版(structure equation)

\,\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega

となる。ここに \wedgeウェッジ積(wedge product)とする。さらに詳しくは、\omega^i_{\ j}\Omega^i_{\ j} で、それぞれ ω と Ω の成分を表すとすると(各々の \omega^i_{\ j} は通常の 1-形式で、各々の \Omega^i_{\ j} は通常の 2-形式である)、

\Omega^i_{\ j}=d\omega^i_{\ j} +\sum_k \omega^i_{\ k}\wedge\omega^k_{\ j}

となる。

例えば、リーマン多様体接バンドル英語版に対して、構造群は O(n) であり、Ω は O(n) のリー代数に値をもつ 2-形式で、反対称行列である。この場合には、曲率形式 Ω は曲率で記述すると、

\,R(X,Y)=\Omega(X,Y),

となる。

ビアンキ恒等式[編集]

\theta が標構バンドル上のベクトルに値を持つ標準 1-形式であれば、接続形式

\omegaトーション \Theta は、ベクトルに値を持つ 2-形式で、次の構造方程式によって定義される。
\Theta=d\theta + \omega\wedge\theta = D\theta.

ここに、上記のように、D は外積共変微分英語版(exterior covariant derivative)である。

第一ビアンキ恒等式は、

D\Theta=\Omega\wedge\theta

であり、第二ビアンキ恒等式は、

\, D \Omega = 0

で、より一般的な主バンドルのに任意の接続に対して有効である。

参考文献[編集]

関連項目[編集]