チャーン・サイモンズ形式

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数学において、チャーン・サイモンズ形式(: Chern–Simons form)とは、ある第二特性類のことを指す。それらは、ゲージ理論で興味をもたれ、(特に3-形式は)チャーン・サイモンズ理論の作用を定義する。理論はS.S.チャーンジェームズ・サイモンズ英語版の名前にちなんでいて、1974年の共著論文、題名:「Characteristic Forms and Geometric Invariants」の中で、この理論が生まれた。(Chern & Simons 1974)

定義[編集]

多様体が与えられ、多様体の上のリー代数に値を持つ1-形式(1-form)の空間を \bold{A} とすると、以下のようにして、(チャーン・サイモンズ)p-形式の族を定義することができる。

1-次元では、チャーン・サイモンズ 1-形式は次の式で与えられる。

{\rm Tr} [ \bold{A} ].

3-次元では、チャーン・サイモンズ3-形式 は次の式で与えられる。

{\rm Tr} \left[ \bold{F}\wedge\bold{A}-\frac{1}{3}\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\right].

5-次元では、チャーン・サイモンズ5-形式 は次の式で与えられる。

{\rm Tr} \left[ \bold{F}\wedge\bold{F}\wedge\bold{A}-\frac{1}{2}\bold{F}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A} +\frac{1}{10}\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A} \right]

ここに曲率 F は次のように定義される。

\bold{F} = d\bold{A}+\bold{A}\wedge\bold{A}.

一般のチャーン・サイモンズ形式 \omega_{2k-1} は次のような方法で定義される。

d\omega_{2k-1}={\rm Tr}  \left( F^{k} \right),

ここにウェッジ積は Fk と定義する。この式の右辺は、接続 \bold{A} の k-番目のチャーン類に比例する。

一般に、チャーン・サイモンズp-形式は任意の奇数 p に対し定義される。(定義はゲージ理論も参照のこと)。p-次元多様体の上のチャーン・サイモンズ項の積分は、大域的な幾何学的不変量であり、典型的には、整数倍を同一視するとゲージ不変(な不変量)となる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]