ルジャンドル変換

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関数 \scriptstyle f(x) のルジャンドル変換 \scriptstyle f^\star(p) = \max_x(px-f(x))(ただし \scriptstyle p=\dot{f}(x))は、\scriptstyle x における \scriptstyle f(x) の接線の切片に対応している。

ルジャンドル変換(るじゃんどる へんかん、: Legendre transformation)とは、凸解析において、関数変数を変えるために用いられる変換である。解析力学熱力学などで用いられる。名前はフランス数学者アドリアン=マリ・ルジャンドルに因む。ルジャンドルは解析力学におけるラグランジアンハミルトニアンに変換する際にルジャンドル変換を用いた。

ルジャンドル変換は双対性の応用例である。下に凸な関数 f (x )(x , y ) の点の集合によって表現できるが、それらの傾き切片の値で指定される接線の集合によっても等しく充分に表現できる。

ルジャンドル変換はルジャンドル-フェンシェル変換英語版に一般化できる。それは広く熱力学古典力学ハミルトン形式で使われる。

定義[編集]

関数 f のルジャンドル変換は次のように定義される[1]

f^*(p) = \max_x\,\!\left(px-f(x)\right)\,.

または次のように定義してもよい[1]

f^*(p) = -\min_x\,\!\left(f(x)-px\right)\,.

ここで、maxx変数 x を動かしたときの最大値を表し、 minx は変数 x を動かしたときの最小値を表す。

文献によっては最大値 max と最小値 min を用いる代わりに、上界 sup と下界 inf が用いられる[2]

f^*(p) = \sup_x\,\!\left(px-f(x)\right)\,.
f^*(p) = -\inf_x\,\!\left(f(x)-px\right)\,.

変換される関数 fx 以外の変数を持っていてよく、多変数関数に対しては各変数についてルジャンドル変換をすることができる。

性質[編集]

ルジャンドル変換の定義から明らかなように、関数 g (x ) = f (x ) - px の最小値が定まる場合のみ、ルジャンドル変換によって新しい関数を与えることができる[3]

最小値が定まる場合でも、変換元となる関数 f (x )凸関数でない場合、新たに定義された関数 f *(p ) は逆変換しても元の関数 f (x ) へは戻らない[3]

滑らかな関数に対する変換[編集]

元の関数 f (x ) の一階の導関数 f '(x )x について連続であり単調増加する場合、すなわち関数 f (x ) が下に凸で滑らかな場合、関数 g (x ) = f (x ) - px が最小となる x は、g (x )x の一階の導関数 g '(x ) が 0 になる点であるから、ルジャンドル変換は次のように書き直せる。

f^*(p) = px^*(p) - f\left(x^*(p)\right)\,.

ここで関数 x *(p )f (x ) の導関数 Df (x )逆関数である。

x^*(p) = {f'}^{-1}(p)\,.

これは方程式 f '(x ) = pである。

逆変換[編集]

関数 f (x ) のルジャンドル変換 f *(p ) に対して再びルジャンドル変換を施す。

f^{**}(x) = -\min_p\left(f^*(p) - xp \right)\,.

f (x ) が下に凸であれば、2 回ルジャンドル変換をした関数 f **(x ) は元の関数 f (x ) に等しい。

f^{**}(x) = f(x)\,.

つまりルジャンドル変換の逆変換はルジャンドル変換そのものとなる。

例として、関数が滑らかな凸関数である場合について説明する。まず関数 f を 2 回ルジャンドル変換をすると以下のようになる。

f^{**}(x) = xp^*\left(x\right) - f^*\left(p^*(x)\right) 
= xp^*\left(x\right) - p^*(x)x^*(p^*(x)) + f\left(x^*(p^*(x))\right)\,.

p *(x )df *(p )/dp の逆関数であり、x *(p )f '(x ) = df (x )/dx の逆関数なので、

\frac{\mathrm{d}f^*(p)}{\mathrm{d}p} 
= x^*(p) + p\frac{\mathrm{d}x^*(p)}{\mathrm{d}p} - \frac{\mathrm{d}x^*(p)}{\mathrm{d}p}\frac{\mathrm{d}f\left(x^*(p)\right)}{\mathrm{d}x} 
= x^*(p)

p *(x )x *(p ) の逆関数でもあり、x *(p *(x )) = x が成り立つ。 このことから、f ** は元の関数 f に等しいことが示される。

f^{**}(x) = xp^*\left(x\right) - p^*(x)x + f(x) = f(x)\,.

ヤングの不等式[編集]

ルジャンドル変換の定義より、

f^*(p) = \max_x\,\!\left(px-f(x)\right)\,.

任意の関数 f とその共役 f * は以下の不等式を満たす。

f^*(p) = \max_x\,\!\left(px-f(x)\right) \geq px-f(x)\,.

f を両辺に足せば以下のようになる。この種の不等式はヤングの不等式と呼ばれる。

f^*(p) + f(x) \geq px\,.

応用例[編集]

解析力学[編集]

解析力学では、ラグランジアン Lハミルトニアン H に変換する際に、ルジャンドル変換が用いられる。座標を q としたときに正準運動量p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} として、ハミルトニアンは

H=\dot{q}p - L

定義される[4]。これによって、L(q,\dot{q}) から H (q ,p ) になる。 実際これは以下の関係を満たす。

\frac{\partial H}{\partial \dot{q}} = p - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0\,.

このハミルトニアンとオイラー=ラグランジュ方程式あるいは最小作用の原理を組み合わせることで正準方程式が導かれる[5]。 ハミルトニアンの全微分は、

\mathrm{d}H = \frac{\partial H}{\partial p}\mathrm{d}p + \frac{\partial H}{\partial q}\mathrm{d}q + \frac{\partial H}{\partial t}\mathrm{d}t

と書けるが、一方でハミルトニアンの定義より、

\begin{align}
\mathrm{d}H &= p\mathrm{d}\dot{q} + \dot{q}\mathrm{d}p 
 - \frac{\partial L}{\partial q}\mathrm{d}q
 - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\mathrm{d}\dot{q}
 - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t\\
&= p\mathrm{d}\dot{q} + \dot{q}\mathrm{d}p 
 - \dot{p}\mathrm{d}q
 - p\mathrm{d}\dot{q}
 - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t\\
&= \dot{q}\mathrm{d}p 
 - \dot{p}\mathrm{d}q
 - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t
\end{align}

となるので、ハミルトニアンの偏微分は以下の関係を満たす。この内、正準変数 p , q の偏微分に関する式をまとめて正準方程式 (canonical equations) と呼ぶ。

\begin{cases}
& \frac{\partial H}{\partial p} = \dot{q} = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\\
& \frac{\partial H}{\partial q} = -\dot{p} = -\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\\
& \frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t} = -\frac{\partial L}{\partial t}
\end{cases}

逆にハミルトニアンからラグランジアンを得る場合には、関数 L を以下のように定義し、

L=\dot{q}p - H

変数 p に対する偏微分が 0 になるようにする。すなわち、

\frac{\partial L}{\partial p} = \dot{q} - \frac{\partial H}{\partial p} = 0\,.

結局このとき変数 \dot q はハミルトニアンの運動量微分に等しくなる。

多変数の場合には、ラグランジアンのすべての一般化速度についてルジャンドル変換を施したものがハミルトニアンと呼ばれる。また部分的にルジャンドル変換をしたものはラウシアン英語版 (Routhian) と呼ばれる[6]

熱力学[編集]

ルジャンドル変換で繋がっている熱力学関数とその変数のまとめ。解析力学におけるハミルトニアンとラグランジアンでもこれと同様な図を描くことができる。

熱力学では、内部エネルギー U (S , V , N )エンタルピー H (S , p , N )ヘルムホルツの自由エネルギー F (T , V , N ) に、またそれらからギブスの自由エネルギー G (T , p , N ) に変換する際にルジャンドル変換が用いられる。

U = H - pV
F = U - TS = G - pV
G = U + pV - TS = H - TS

ここで、V体積p圧力N :粒子数、SエントロピーT温度である。

脚注[編集]

  1. ^ a b 田崎 (2000)、p. 270。
  2. ^ 田崎 (2000)、p. 271 脚注。
  3. ^ a b 田崎 (2000)、p. 272。
  4. ^ 須藤 (2010)、p. 42。
  5. ^ 須藤 (2010)、p. 43。
  6. ^ 須藤 (2010)、p. 47。

参考文献[編集]

関連項目[編集]