ルジャンドル変換

関数 $\scriptstyle f(x)$ のルジャンドル変換 $\scriptstyle f^\star(p) = \mathrm{max}_x(px-f(x))$ （ただし $\scriptstyle p=\dot{f}(x)$ ）は、 $\scriptstyle x$ における $\scriptstyle f(x)$ の接線の切片に対応している。

ルジャンドル変換（ルジャンドルへんかん、英語：Legendre transformation）とは、関数の変数を変えるために用いられる変換。解析力学や熱力学などで用いられる。

数学では、ある関数関係f(x)を、その引数がxではなくfの微分であるような別の関数として表現したいことがときどきある。下に定義するように、 $p = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ を引数とする新しい関数を $f^\star(p)$ としたとき、この関数をもとの関数のルジャンドル変換と呼ぶ(アドリアン＝マリ・ルジャンドルから)。

関数fのルジャンドル変換 $f^\star$ は次のように定義される：

$f^\star(p) = \mathrm{max}_x(px-f(x)).$

記法 $\max_x$ はpを固定し、変数xを動かしたときの最大値を表す。ルジャンドル変換の一次導関数 $Df^\star$ はもとの関数の一次導関数Dfの逆関数である。よく知られたフーリエ変換のように、ルジャンドル変換は関数 $f(x)$ を取り、異なる変数 $p$ の関数を作る。しかし、フーリエ変換が核の積分であるのに対して、ルジャンドル変換は変換手続きとして最大化を使う。変換がよい振る舞いをするのはf(x)が凸関数であるときに限る。

ルジャンドル変換は点と線の双対性の応用例である。関数関係 f(x) は (x, y) の点の集合によって表現できるが、それらの傾きと切片の値で指定される接線の集合によっても等しく十分に表現できる。

ルジャンドル変換はルジャンドル-フェンシェル変換に一般化できる。それは広く熱力学と古典力学のハミルトニアン形式で使われる。

定義と証明 [編集]

ある関数 $F(x_1,x_2,\cdots ,x_N)$ があったときに、変数 $x_i(1\le i \le N)$ をyに変換することを考える。このとき、

$y=\frac{\partial F}{\partial x_i}$

と定義する。このとき、Fの微分(全微分)dFを考えると、

$dF=\sum_{j=1}^N \frac{\partial F}{\partial x_j}dx_j$

である。ここで新しい関数 $G=F-x_iy$ を定義する。すると、この微分は、

$\begin{align} dG &=dF-y\cdot dx_i-x_i\cdot dy\\ &= \sum_j\frac{\partial F}{\partial x_j}dx_j - \frac{\partial F}{\partial x_i}dx_i -x_i\cdot dy\\ &= \sum_{j (j\ne i)}\frac{\partial F}{\partial x_j}dx_j-x_i\cdot dy\\ \end{align}$