ヤングの不等式

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ヤングの不等式(-ふとうしき、Young's inequality)とは、べき乗との間に成り立つ不等式であり、様々な分野で広く用いられている。

a,bを非負値な実数、1 < p,q < ∞を1/p + 1/q = 1 なる実数とする。このとき、

ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.

が成り立つ。等号が成立するのは ap = bq のときに限る。

とくに、これを変形した任意のε>0に対する式

ab \le \varepsilon a^p + \frac{1}{\varepsilon ^{\frac{1}{p-1}}} b^q.

もよく使われる。

一般化されたヤングの不等式[編集]

f(x)をx≧0で連続狭義単調増加f(0) = 0なる関数で、a,b>0とすると、

 ab \le \int ^a _0 f(x) \ dx + \int ^b _0 f^{-1} (x) \ dx

が成り立つ。等号b=f(a)のときに限る。

f(x)=xp-1に適用すれば冒頭のヤングの不等式が得られる。

畳み込みに関するヤングの不等式[編集]

1 ≤ p,q ≤ ∞ かつ 1/r = 1/p + 1/q - 1 ≥ 0 とし、fLp(Rn) 、gLq(Rn) の元とする。このとき、f * gLr(Rn) の元となり、

 \| f * g \| _{L^r} \le \| f \| _{L^p} \| g \| _{L^q}

が成り立つ。

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とくに、p,q の片方を 1 にしたものが有用である。例えば q = 1 とすれば、fLp(Rn) 、gL1(Rn) の元としたときに、f * gLp(Rn) の元となり、

 \| f * g \| _{L^p} \le \| f \| _{L^p} \| g \| _{L^1}

が成り立つことが分かる。これは fg畳み込みLp-ノルムが fLp-ノルムと gL1-ノルムの積で抑えられていることを表している。


関連項目[編集]