接線

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曲線とその接線(赤線)の例。赤い点は接点である。

接線(せっせん、tangential line)とは、曲線に対して次の定義を満たす直線のことである。古くは切線とも書かれた。

定義[編集]

曲線上の P における接線とは、P と異なる曲線上の点 Q を取り、Q を P に近付けたときに直線 QP が近付く直線のことである。このとき点 P を接点と呼ぶ。接線は存在するとは限らない。

微分法による接線の方程式[編集]

曲線の方程式が微分可能ならば、接線が存在する。

座標平面上の関数[編集]

座標平面上の微分可能な関数 C : y = f(x) 上の x = a における微分係数 f' (a) は

f'(a)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

で与えられる。これが点 P(a, f(a)) における接線(L とする)の傾きである。

したがって、接線 L の方程式は、

y-f(a)=f'(a)(x-a)

で与えられる。

(例)

放物線 y = f(x) = x2 上の点 (−1, 1) における接線の方程式は、f' (−1) = −2 であるから、

y − 1 = −2(x + 1)

すなわち y = −2x − 1 である。

媒介変数表示曲線[編集]

平面曲線 C : x = f(t), y = g(t) が t = a で微分可能ならば、導関数

\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{dt} /\frac{dx}{dt}

で与えられる。これから同様に接線 L の方程式が求まる。

一般の n 次元空間内の曲線 C : x =(x1(t), …, xn(t)) においては、

v =(x1'(a), …, xn '(a))

接ベクトルと呼び、これを方向ベクトルとする直線の方程式を求めることになる。

微分可能でない場合[編集]

微分可能でなくても接線が存在する場合がある。それは微分係数値が ±∞ である場合である。

例えば、y = x1/2x = 0 における微分係数は ∞ である。したがって、原点 (0, 0) における接線は x = 0 である。

微分係数が ±∞ でもない場合、すなわち右微分係数と左微分係数が異なったり、振動する場合は接線は存在しない。

いわば三角屋根状に尖った点(尖点)では、右微分係数と左微分係数が異なる。

例えば、y = |x| の x = 0 における右微分係数は 1、左微分係数は −1 である。

振動する例として、

y=\left\{ \begin{array}{ll}
x\sin \frac{1}{x} &(x\neq 0)\\
0 &(x=0)
\end{array} \right.

(これは x = 0 で連続である)は x = 0 で微分係数が振動する。

至る所連続かつ微分不可能な例として知られる、ワイエルシュトラス関数があるが、これも振動する例である。

近似としての観点[編集]

接線 L は接点 P の近傍における、曲線 C の1次近似と見なすことができる。接点 P を中心に十分に拡大すると、曲線 C は限りなく直線 L に近い。

ランダウの記号だと

f(a+\Delta x)=f(a)+f'(a)\Delta x+O(\Delta x)

と表される。

円の接線[編集]

円の接線は、極限という観点を用いずに、初等幾何学の観点で比較的簡単に論じることができる。中学高校といった初等数学においては、「円の接線とは、円と1点で交わる直線のことである」と定義されるのが通常であるが、この定義を一般の曲線に当てはめることはできない。

中心 C の円 C において、円周上の点 P における接線は、直線 CP と点 P で直交する直線に等しい。

(証明)
点 P と異なる円周上の点 Q を取る。
△CQP は CQ = CP の二等辺三角形である。ゆえに、
∠QPC = 1/2(180° − ∠QCP)
Q → P のとき ∠QCP → 0° だから、∠QPC → 90°
これは、直線 QP が直線CP と直交する直線に近付いていくことを示している。(証明終)

このとき線分 CP を接点半径と呼ぶ。

C の外の点 A を通る接線は2本ある。

(証明)
点 A を通る接線の接点を P とする。
∠APC = 90° であるので、点 P は線分 AC を直径とする円周上にある。
直径 AC の円と円 C は2点で交わる。
したがって、円 C の外の点 A を通る接線 AP は2本ある。(証明終)

線分 AP の長さ(2つある)を接線の長さという。円の接線の長さは等しい。

また、接弦定理(接線と弦が作る角の定理)も初等幾何学においてよく知られるところである。

放物線の接線[編集]

放物線の接線はいくつか幾何学的な性質を持つ。

y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) の x = α, β における接線の交点の x座標は \frac{\alpha +\beta}{2} である。

双曲線の接線[編集]

双曲線の接線もいくつか幾何学的な性質を持つ。

漸近線の交点を O、接点を T、接線と漸近線の交点を P, Q とすると、

  • T は線分 PQ の中点である
  • △OPQ の面積は T の位置に依らず一定である

2次曲線(円錐曲線)の接線[編集]

2次曲線(円錐曲線)は、グラフが点や直線であるものを除くと、楕円放物線双曲線に限られる。C はこれらのいずれかであるとし、点 P における接線を L とする。2つの焦点を F, F' とする(放物線の場合は1つを無限遠点と考えることにする)と、次の性質が成り立つ。

  1. C が楕円ならば、L は ∠FPF' の外角を2等分する。
  2. C が放物線ならば、L は ∠FPF' の内角・外角を2等分する。
  3. C は双曲線ならば、L は ∠FPF' を2等分する。

この性質はパラボラアンテナに利用されている。

正弦曲線の接線[編集]

正弦の定義により

x ≒ 0 ならば sin xx

が導かれる。これにより、y = sin x の原点 (0, 0) における接線の式は、y = x と分かる。

なお、平均値の定理を用いることで誤差を評価することもできる。

指数関数の接線[編集]

a は 1 でない正の数とする。指数関数 y = ax の接線においては、

\lim_{h\to 0} \frac{a^h -1}{h} =\log a

が基本的である。これは x = 0 における微分係数に等しい。

これから、導関数の定義より

y'=a^x \log a

である。

ここで log はネイピア数 e=\lim_{t\to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} を底とする対数(自然対数) である。

対数関数の接線[編集]

逆関数の微分法と指数関数の微分法より、y=\log_a x の導関数

y'=\frac{1}{x\log a}

が導かれる。指数関数の微分法を仮定しないでこれを導くことも可能である。その場合、指数関数の微分法を逆関数の微分法から導くことになる。

アステロイドの接線[編集]

アステロイド x^{\frac{2}{3}} +y^{\frac{2}{3}} =a^{\frac{2}{3}} (a > 0) の接線が x軸、y軸によって切り取られる線分の長さは一定(長さ a)である。

関連項目[編集]