傾き (数学)

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平面上の直線の傾きは、垂直移動距離を水平移動距離で割った m = Δy/Δx で定義される

数学における平面上の直線傾き(かたむき、: slope)あるいは勾配(こうばい、: gradient)は、その傾斜の具合を表す数値である。ただし、鉛直線に対する傾きは定義されない。

傾きは普通、直線上の2点間の変化の割合、すなわち x増加量に対する y の増加量の比率として定義される。また、同値な定義として、傾き m は傾斜角を θ として

m=\tan \theta

と書くことができる。

曲線上の微分可能な1点に対しても、傾斜の具合を表す数値(微分係数)が、傾きの考え方により定義できる。

傾きの概念は、地理学および土木工学における斜度勾配(たとえば道路など)に直接応用される。

定義[編集]

xy平面上の直線の傾きは、y座標の増加量に対する y座標の増加量の比率と定義される。式で書けば、直線の傾き m

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}

で記述される。ここで、ギリシャ文字 "Δ"(デルタ)は、数学において「増加量」や「増分」を表す符牒としてよく用いられる。

増加量とはのことなので、直線上の2点を任意に取り、それらを (x1, y1), (x2, y2) とする。このとき、m

m=\frac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1}

で求められる。

これらの等式から分かるように、鉛直線(y軸に平行な直線)の傾きは、零除算となり、定義されない。

(例)

直線が2点 P(1, 2), Q(13, 8) を通るとする。増加量として、P に対する Q の増加量と考えるか、Q に対する P の増加量と考えるかで符号の違いが現れるが、それらのである傾きとしてはどちらも変わらない。ここでは P に対する Q の増加量を考える。

xの増加量 Δx = 13 − 1 = 12
yの増加量 Δy = 8 − 2 = 6

傾き m とは、y座標の増加量 Δx に対する y座標の増加量 Δy の比率のことなので、

m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} =\frac{8-2}{13-1}=\frac{6}{12} =\frac{1}{2}

である。

直線が2点 P(4, 15), Q(3, 21) を通るならば、傾きは

m =\frac{21-15}{3-4} =\frac{6}{-1} =-6

である。

傾斜角による記述[編集]

傾斜の度合いを表す傾きは、傾斜角と関係が深い。たとえば、傾き 1 の直線の傾斜角は 45° である。傾き −1 ならば、傾斜角を 0°~180° の範囲で考えると 135°、−90°~90° の範囲で考えると −45° である。なお、鉛直線の傾きは定義されなかったが、傾斜角は定義され、90° である。

傾斜角とは、直線と x軸の正の部分が作る角(反時計回りが正の向き)と定義される。取り得る範囲として 0° ≤ θ < 180° または −90° < θ ≤ 90° の2つの流儀がある(状況に応じて使い分ける)。

直線の傾きを m、傾斜角を θ とすると、2つの間には、三角法における正接函数を用いて

m=\tan \theta \ (\iff \theta =\arctan m)

の関係がある。

性質[編集]

  • 異なる2直線が平行であるための必要十分条件は、それらの傾きが等しいこと、または、傾きがともに定義されないことである。
  • 異なる2直線が直交するための必要十分条件は、傾きのが −1、または、傾きが 0 と定義されない場合であることである。
たとえば、傾き \tfrac{2}{7} の直線に垂直な直線の傾きは -\tfrac{7}{2} である。
  • 傾き m の直線と傾き m' の直線が作る角 θ
\tan \theta =\pm \frac{m-m'}{1+mm'}
で求められる。

1次関数における傾き[編集]

傾き・切片[編集]

yx1次関数であるとする。このとき、xy には y = ax + b と表される関係があり、そのグラフは直線となる。この直線の傾きは a に等しい。

(証明)
y = ax + bグラフ上の任意の2点 P, Q を取る。P, Q の x座標をそれぞれ x1, x2 とすると、P, Q の座標は
P(x1, ax1 + b), Q(x2, ax2 + b)
である。
xの増加量 Δx = x2x1
yの増加量 Δy = (ax2 + b) − (ax1 + b)
= ax2ax1
= a(x2x1)
傾き m は、
m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{a(x_2 -x_1)}{x_2 -x_1} =a(証明終)

1次関数 y = ax + b において、a を傾きと呼ぶのに対して、by切片と呼ぶ。1次関数の y切片は、グラフ(直線)が y 軸と交わる点の y 座標に等しい。したがって、y = ax + b の形の方程式を「傾き・切片標準形」と呼ぶこともある。

1次関数 y = ax + b のグラフは、y軸平行の直線にはなりえないことに注意が必要である。

1次関数の決定[編集]

1次関数の傾き m と直線上の1点 (x1, y1) が既知ならば、1次関数の方程式は

y-y_1 =m(x-x_1)

で与えられる(これを1点・傾き標準形と呼ぶことがある)。

(例)

1次関数のグラフが2点 (2, 8), (3, 20) を通るとする。1次関数の傾き m

\frac{20-8}{3-2} =12

だから、直線の方程式は1点・傾き標準形で

y − 8 = 12(x − 2)

と求まる。これはつまり

y = 12x − 16

である。

直線の一般形[編集]

前述の通り、1次関数のグラフは全ての直線を表さない。2変数線型方程式の一般形

ax+by+c=0

は全ての直線を表す。b ≠ 0 ならば、傾きが存在し、-\tfrac{a}{b} である。

直線の切片形[編集]

\frac{x}{a} +\frac{y}{b} =1 の形の方程式は切片形と呼ばれる。このとき yx の1次関数で、

x切片が a
y切片が b

となる。この直線の傾きは -\tfrac{b}{a} である。

方向ベクトルとの関係[編集]

直線の傾きが m であることは、その直線の方向ベクトルが (1, m) であることと同値である。

微分係数[編集]

各点における微分係数とは、その点における曲線の接線の傾きのことである。各点に対して図の直線は常に曲線(青)の接線を表す。接線を、微分係数が正のときは緑、負のときは赤、0 のときは黒で表している。

曲線上の1点に対しても、そこで微分可能ならば、傾斜の具合を表す数値としての傾きが定義できる。

ΔxΔy を曲線上の2点間のそれぞれ x座標、y座標の増加量とすると、その2点を通る直線(割線という)の傾き m

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}

である。この2点間を狭めたときの m極限が、そこを直線として近似した傾きと考えられる。これは接線の傾きであり、微分係数と呼ばれる。場所 x を変数とした

\frac{dy}{dx} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

を、曲線の導関数と呼ぶ。

微分係数が定義できない例としては、次のような例がある。

  • y = |x| の x = 0 における点
  • 振動型

関連項目[編集]