ワイエルシュトラス関数

ワイエルシュトラス関数(区間 [−2, 2])。 この関数はフラクタル挙動を示す: スケールを変えると似た構造が現れる(赤色の円)自己相似性をもつ。

ワイエルシュトラス関数（ワイエルシュトラスかんすう、英: Weierstrass function）は、1872年にカール・ワイエルシュトラスにより提示された実数関数で、連続関数であるにもかかわらず至るところ微分不可能な関数である。病的な関数(英語版)の例として取り上げられることがある。

「孤立点を除くと連続関数は微分可能である」という認識を変えた初めての例として、ワイエルシュトラス関数は歴史的に重要である。

ワイエルシュトラス関数

定義

ワイエルシュトラスのオリジナル論文において、この関数は次のように定義される。

$w(x)= \sum_{n=0} ^\infty a^n \cos(b^n \pi x).$

ここで、0 < a < 1, b は正の奇数整数。また、

$ab > 1+\frac{3}{2} \pi.$

この定義は、微分不可能であることの証明とともに、1872年7月18日 Prussian Academy of Sciences (Königliche Akademie der Wissenschaften) に提出された。

ハウスドルフ次元

ハウスドルフ次元は次のとおりとなる。

$D_{H} = 2 + \frac{\log{a}}{\log{b}}$

スケール不変性

ワイエルシュトラス関数では和をnが０以上についてのみとるため厳密にはスケール不変とはならない。

$\begin{align} w(bx) &= b^{-1} \sum_{n=0} ^\infty b^{n+1} \cos{(b^{n+1} \pi x)} \\ &= b^{-1} \sum_{n=-1} ^\infty b^{n+1} \cos{(b^{n+1} \pi x)} - b^{-1} b^{0} cos(b^{0} \pi x) \\ &= b^{-1} \left[w(x) - \cos{\pi x}\right] \\ &\neq b^{-1} w(x) \end{align}$

したがって、厳密な意味での自己相似性をもたない。

ワイエルシュトラス・マンデルブロ関数

ブノワ・マンデルブロは、ワイエルシュトラス関数を一般化した次のワイエルシュトラス・マンデルブロ関数 (英:Weierstrass-Mandelbrot function)を提示した。

定義

$W(t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(1-e^{i \gamma^n t})e^{i\phi_n}}{\gamma^{(2-D)n}}$,

ここで、 1 < D < 2, γ > 1 である。

これは、φ=0として実部をとるとワイエルシュトラス関数となる。

$Re[W(t)] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(1-cos(\gamma^{n} t))} {\gamma^{(2-D) n}}$

フラクタル次元

ハウスドルフ次元は D と考えられているが厳密な証明はなされていない。

スケール不変性

特定の条件下でのみスケール不変となる。

$\begin{align} W(\gamma t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-i\mu} \gamma^{\eta} \cdot \frac{(1-e^{i \gamma^{(n+1)} t})e^{i\phi_{n+1}}} {\gamma^{\eta(n+1)}} \\ &= e^{-i\mu} \gamma^{\eta} W(t) \\ &= \gamma^{\eta} W(t) \end{align}$

ただし、φ_n=μｎ、μ=0、η=(2-D)

このように特定の因子についてのみスケール不変となるものを離散的スケール不変(DSI, Discrete Scale Invariance)という。

統計的性質

• アンサンブル平均はゼロ $<W(t + \tau) - W(t)>_e = 0$
• 分散はγについてのみスケール不変となる。

$\begin{align} &V(\tau) &=& <W(t + \tau) - W(t)>_e = 2 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1 - \cos(\gamma^{n}\tau)} {\gamma^{(4-2D)n}} \\ &V(\gamma \tau) &=& \gamma^{4-2D} V(\tau) \end{align}$

パワースペクトル

パワースペクトルはおおよそ次の近似式で表すことができる。

$S(\omega) \approx \frac{1}{\omega^{5-2D}\log{\gamma}}$

すなわち、D → 2 のとき　1/fゆらぎに近づく。

ワイエルシュトラス・マンデルブロ関数の一般化

ワイエルシュトラス・マンデルブロ関数(WMF)は、次のようにさらに一般化することができる。

$W_{g}(t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \lambda^{-nH} (g(0) - g(\lambda^{n} t)) e^{i\phi_n}$,

ここで、H < 1、g(t)は t=0 で微分可能な周期関数。

参考文献

(英語)

• B.R. Gelbaum and J.M.H. Olmstead, Counterexamples in Analysis, Holden Day Publisher (June 1964).
• Karl Weierstrass, Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Collected works; English translation: On continuous functions of a real argument that do not have a well-defined differential quotient, in: G.A. Edgar, Classics on Fractals, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, 3-9.
• G.H. Hardy, Weierstrass's nondifferentiable function, Trans. Amer. Math. Soc., 17(1916), 301-325.
• K. Falconer, The Geometry of Fractal Sets, Oxford (1984).

(日本語)

• Weierstrass 論文「至る所微分不可能である連続関数の例」について, 小柴洋一, 2000 年8 月22 日, 数理解析研究所講究録 1195巻 2001年 62-66

関連項目

• コッホ曲線
• リーマン関数

外部リンク

• Weisstein, Eric W., "Weierstrass function" - MathWorld.（英語）