同値

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

同値(どうち)または等価(とうか)とは、2つの命題が共にまたは共にのときに真となる論理演算である。

英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iffともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。PとQが同値であることを「PはQの(QはPの)必要十分条件である」という。なお、「必要条件」「十分条件」という用語もある。

演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。

性質[編集]

同値の基本的な性質は以下のとおり。\Rightarrow論理包含(ならば)、\land論理積(かつ)。

  • 反射律: p \Leftrightarrow p
  • 対称律: (p \Leftrightarrow q) \Rightarrow (q \Leftrightarrow p)
  • 推移律: \{(p \Leftrightarrow q) \land (q \Leftrightarrow r)\} \Rightarrow (p \Leftrightarrow r)

他にも次のような性質がある。\lnot否定\veebar排他的論理和

  • 反対称律: \{(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)\} \Rightarrow (p \Leftrightarrow q)
  • (p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow \lnot (p \veebar q)

真理値表[編集]

命題 P 命題 Q PQ

概要[編集]

命題 P と命題 Q に対して、PQ のとき

P Q であるための十分条件
Q P であるための必要条件

であるという。PQ の逆 QP でもあるとき、QP であるための(または PQ であるための)必要十分条件、または命題 PQ同値であるという。

なお数学で、ある集合の2つの元が同値関係にあるとき、それらは互いに「同値である」と言うことがあるが、それとは区別すべきものである。ただし、2つの命題が同値であるという "関係" は同値律を満たすので "命題の全体" における "同値関係" になっている。

[編集]

以下の命題 p, q, r を考える。

命題 p : x は 3 である。
命題 q : x − 3 = 0 が成立する。
命題 r : xx2 − 5x + 6 のである。

これらについて、次のことが確かめられる。

  • 命題 p が真であるとき、命題 q, r ともに真である。
  • 命題 p が偽であるとき、命題 q は偽である。しかし x = 2 とすれば、命題 p が偽であるにも拘らず、命題 r は真となる。
  • 命題 q が真であるとき、命題 p, r はともに真である。
  • 命題 q が偽であるとき、命題 p は偽である。しかし x = 2 とすれば、命題 q が偽であるにも拘らず、命題 r は真となる。
  • 命題 r が真であるとき、x = 2 または x = 3(x − 2 = 0 または x − 3 = 0)であるが、x = 2 のときには命題 p, q は偽である。
  • 命題 r が偽であるとき、命題 p,q はともに偽である。

よって次のことが帰結される。

  1. 命題 p と命題 q は同値である。
  2. 命題 p と命題 r は同値でない。
  3. 命題 q と命題 r は同値でない。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]