同値

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同値(どうち)または等価(とうか)とは、2つの命題が共にまたは共にのときに真となる論理演算である。

英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iffともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。

演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。

性質[編集]

同値の基本的な性質は以下のとおり。\Rightarrow論理包含(ならば)、\land論理積(かつ)。

  • 反射律: p \Leftrightarrow p
  • 対称律: (p \Leftrightarrow q) \Rightarrow (q \Leftrightarrow p)
  • 推移律: \{(p \Leftrightarrow q) \land (q \Leftrightarrow r)\} \Rightarrow (p \Leftrightarrow r)

他にも次のような性質がある。\lnot否定\veebar排他的論理和

  • 反対称律: \{(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)\} \Rightarrow (p \Leftrightarrow q)
  • (p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow \lnot (p \veebar q)

真理値表[編集]

命題 P 命題 Q PQ

概要[編集]

pq が真であるとき、

pq である為の十分条件である、

qp である為の必要条件である

などという。 pq が真であるとき、「 pq である為の必要十分条件である 」、「 pq とは同値である 」などという。

なお数学で、ある集合の2つの元が同値関係にあるとき、それらは互いに「同値である」と言うことがあるが、それとは区別すべきものである。ただし、2つの命題が同値であるという "関係" は同値律を満たすので "命題の全体" における "同値関係" になっている。

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⇒ と ⇔ の真理値表を用いて、 ( pq ) ⇒ ( qp ) が真であることを示そう。 p が真で q も真である場合、 ⇔ の真理値表より pqqp とは共に真であるから、 ⇒ の真理値表より ( pq ) ⇒ ( qp ) は真である。 p が真で q が偽である場合、 ⇔ の真理値表より pqqp とは共に偽であるから、 ⇒ の真理値表より ( pq ) ⇒ ( qp ) は真である。 p が偽で q が真である場合、 ⇔ の真理値表より pqqp とは共に偽であるから、 ⇒ の真理値表より ( pq ) ⇒ ( qp ) は真である。 p が偽で q も偽である場合、 ⇔ の真理値表より pqqp とは共に真であるから、 ⇒ の真理値表より ( pq ) ⇒ ( qp ) は真である。以上より、いずれの場合でも ( pq ) ⇒ ( qp ) は真である。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]