集合

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データ構造については「集合 (プログラミング)」を、生物の集団については「群れ」を、人間の場合については「集団」をご覧ください。

数学における集合（しゅうごう、set, ensemble, Menge）とは、いくつか（有限または無限）の「もの」からなる「集まり」である。集合に含まれる「もの」のことを元（げん、element; 要素）という。

集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。

慣例的に、ある種の集合が系（けい、system）や族（ぞく、family）などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。例えば、方程式系（"相互に連立する" 方程式の集合）、集合族（"一定の規則に基づく" 集合の集合）、加法族（"加法的な性質を持つ" 集合族）など。

[編集] 導入

詳細は「素朴集合論」を参照

集合は「もの」の「集まり」である。集合の元（要素）として集められる対象となる「もの」は、数、文字、記号などをはじめ、どんなものでも（もちろん集合でも）構わない。

一方で、どんな「集まり」でも集合と呼んで良いわけではない。その「集まり」が集合と呼ばれるためには、対象が「その集まりの元であるかどうかが不確定要素なしに一意に決定できる」ように定義されていなければならない。

[編集] 帰属と包含

詳細は「部分集合」、「包含関係」、「元 (数学)」、「帰属関係」をそれぞれ参照

集合と元、集合と集合などの間には含んだり含まれたりといった素朴な関係を考えることができる。

帰属関係: 対象 a が考えている集合 A の元になっているとき、「a は集合 A に属す」「集合 A は a を元として含む」などと言い、a ∈ A と表す。

包含関係: 2 つの集合 A, B について、A に属する元がすべて B にも属するとき、すなわち a ∈ A ⇒ a ∈ B が a の取り方に依らずに成り立つとき、「A は B の部分集合である」「A は B に集合として含まれる」「B は A を包含する」などといい、A ⊂ B または A ⊆ B と記す。

1 つも要素を含まないような集合を空集合といい、{} または $\emptyset$ と表す。如何なる集合も必ず空集合を部分集合として含むと考えられているが、各集合に包含されている空集合がいつ如何なるときも同一のものであると考えるのは議論の便器上必要な規約である。

集合の相等関係は、それらに帰属する元の相等によって定められる。つまり、2 つの集合が同じ元を全て含み、なおかつ異なる元をまったく含まないとき、2 つの集合が等しいという。集合 A と B が等しいことを A = B によって表す。これを包含関係を用いて表せば、

A = B ⇔ A ⊆ B かつ A ⊇ B

となる。

同じように「含む」といっても、帰属関係にあることと包含関係にあることとは異なる概念であって、混同してはならない。例えば、X ⊂ Y ⊂ Z ならば必ず X ⊂ Z であるが、X ∈ Y ∈ Z からは X ∈ Z は必ずしも導かれない。また、x ∈ A ⊂ B ならば x ∈ B であるが、x ⊂ A ∈ B からは x ∈ B を帰結することは一般にはできない。

[編集] 集合の記述法

具体的な集合を取り扱うためには、集合を具体的に記述する方法が必要である。たとえば集合に属する元をすべて列挙することが 1 つの方法である。たとえば 10 未満の自然数におけるのなかで奇数であるもの全体の集合は

{1,3,5,7,9}

と記すことができる。「集合に属する元をすべて列挙すること」で集合を記述する方法を集合の外延的記法と言う。集合は、順番を入れ替えたり、同じものを付け加えても、もとのものと等しい：

{1,2,5,7,10} = {5,1,7,2,1,5,10,2}.

また、集合に属する元が満たすべき条件を明示することも集合を記述する方法である。

N は全ての自然数からなる集合である。

N の元は自然数であって、自然数はすべて N に属す。

「ある集合に属するために元が満たさなければならない条件を明示すること」で集合を記述する方法を内包的記法と言う。対象 x がある集合に属する条件が P(x) であるということを {x | P(x)} という記号で表す。つまり

S = {x | P (x)}

と記せば、S は P(x) を満たすようなすべての元 x から構成される集合であるという意味である。なお、"|" のかわりに ":" が用いられることもある。

S = {x : P (x)}.

A = {0,1,2,3,4,5},

B = {n | n ∈ N, n ≤ 5 } （自然数に 0 を含む）

を例にとると、A は外延的、B は内包的に記述されてはいるが、A = B である。

すべての奇数からなる集合（自然数に 0 を含む場合）：

$C = \{ x \mid x=2n+1 \mbox{ for some } n \in \mathbb{N}\}.$

これはしばしば、外延的に

C = {1, 3, 5, 7, ...}

のようにも書かれるが、"..." の部分が何を言っているのかが明らかな場合以外は混乱を生じる恐れがあり、注意して使わなくてはならない。

[編集] 濃度

詳細は「濃度 (数学)」を参照

有限個の元からなる集合を有限集合（ゆうげんしゅうごう、finite set）と呼び、集合 A の元の個数を #(A), |A|, card(A) などの記号で表すことが多い。有限集合でない集合を無限集合（むげんしゅうごう、infinite set）という。無限集合に対しても「個数」の概念を広げて、濃度（のうど、Potency、または基数、Cardinal number, Cardinality）というものを考える。個数を数える代わりに、ある集合を使って、その元で別の集合をラベル付け（indexing; 添字付け）して、一対一の対応がとれるかどうかを調べるのである。そうすると有限集合の濃度はちょうど元の個数で決まるので、ちゃんと無限集合への「個数」の拡張となる概念が定まっていることが確認できる。

無限集合はどれも「無限個」の元を持っているわけだが、どの無限もみな同じというわけではなく、濃度の概念ではたくさんの無限を区別して扱うことになる。たとえば、自然数と有理数が同じ濃度を持つ、自然数と実数は真に異なる濃度を持つといったような事実は数学を学ぶ者にとってよく知られた内容である。同様の事実に、平面 R² と数直線 R は同じ濃度を持ち、平面を覆いつくす平面充填曲線と呼ばれる不思議な平面曲線が何種類も存在することが述べられる。より次元の高い空間でも同様で、空間を埋め尽くす空間充填曲線が構築される。異なる次元をもつ空間が同じ濃度をもつというのは、次元や濃度が一方が他方を測るようなものではない異なる尺度であることを表しているのである。

[編集] 集合の演算

いくつかの集合を扱い、その関係性について論じるとき、もともと考えていた集合たちから新しい集合を作って調べるというのは有効な手段の一つである。これらの操作は、集合に対する演算と見なすことによって、集合族に関するいくつかの代数系を提供する。それらの代数系を抽象代数系と見なせば、抽象代数学の一般論を適用することでまたいくつかの概念を提供することになる。

[編集] 基本的な集合演算

詳細は「和集合」、「積集合」、「差集合」、「対称差」、「指示函数」をそれぞれ参照

結び・結合・和: 二つの集合を「くっつけ」て一緒にしてしまうことで新しい集合を取り出すことができる。加法的な集合族の基本となる演算のひとつ。和集合。
交わり・交叉・積: 二つの集合の共通した部分を見つけることで、新しい集合を取り出すことができる。乗法的な集合族の基本となる演算。積集合、共通部分。
直和・非交和: 二つの集合の、交わりを持たぬ和。
差・相対補: 二つの集合のうちの一方の集合について、それに帰属する元のうち、同時に他方にも含まれる元をとり除いて新しい集合を作ることができる。差は一方と他方の補集合との交わりであり、乗法的な演算である。
補・絶対補: 全体集合（普遍集合）が与えられ、任意の集合は全体集合の部分集合であるという仮定のもとで、一つの集合の全体からの差。勝手な集合はその補集合と交わりを持たず、それらの和は全体集合に一致する。
対称差: 二つの集合の結びに帰属する元から、その交わりに属する元を取り除いて新しい集合を考えることができる。これは結びから交わりを引いた差である。結びと同様に加法的な演算。

指示函数はこれらの集合演算を 0 と 1 からなる世界の代数的な演算に置き換える手段を与える。

[編集] その他の演算

詳細は「直積集合」、「冪集合」、「配置集合」、「商集合」をそれぞれ参照

上記演算は、全体集合が一つ与えられ、演算の引数となる集合たちがその部分集合であるならば、その演算結果もふたたび同じ全体集合の部分集合となるようなものである。一方、必ずしもそれが期待できないような演算もある。

冪: 与えられた集合に対して、その冪集合に帰属する元は与えられた集合に包含される任意の集合である。ある集合の冪集合はその集合の部分集合からなる集合族のなかで最大のものであると言っても同じである。
直積: 二つの集合に対し、それぞれに帰属する元の順序付けられた対を要素とする集合を作ることができる。
配置集合: ある集合から別の集合への写像を一つの元と見なすならば、その全体として新たな集合が見出される。直積集合は、順序数の各元に任意の集合を対応させる写像からなる配置集合と見ることもできる。
商: 集合に類別を与えるとき、各類をその要素とする集合を考えることができる。

[編集] いくつかの集合族

詳細は「集合代数」を参照

集合からなる族 A を考える。A が集合演算についていくつかの性質を満たすとき、それらには特別の名前が与えられることがある。

A が（有限）交叉について閉じているとき、π-系 (π-system) であるという。π-系が空集合を含むとき乗法族 (multiplicative class) であるといい、さらに可算交叉について閉じているとき δ-乗法族であるという。また、乗法族が包含関係を持つ任意の二つの集合に対し、一方から有限回の非交和を行って他方へ達する列を持つとき集合半環 (semi-ring of sets) という。
A が（有限）和と（有限）交叉ついて閉じているとき、集合の束あるいは集合環 (ring of sets) という。A が空集合でなく（あるいは空集合を元として含み）、和と差について閉じている（あるいは同じことだが対称差と交叉について閉じている）場合に限って集合環と呼ぶ場合もある。さらに可算交叉について閉じていれば δ-集合環、可算和について閉じていれば σ-集合環という。また、これらが全体集合を含むならば集合代数 (algebra of sets) あるいは集合体 (field of sets) という。δ-集合体は σ-集合体である。
A が空集合を含み、（有限）和および補について閉じているとき加法族 (additive class) であるという。さらに可算和について閉じているならば完全加法族 (countably additive class) という。集合族 A が加法族であることは集合体であることと等価であり、同様に完全加法族は σ-集合体の別名である。
単調族は包含関係に関する単調列の極限について閉じている集合族
ディンキン族は全体集合を含み、包含関係を持つ集合同士の差について閉じていて、可算増大列の極限について閉じている。λ-系は全体集合を含み、補について閉じていて、可算非交和について閉じている。この二つは同じ概念を定める。
層族 (laminar family)
ブール環

[編集] 関連項目

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