アインシュタイン・ヒルベルト作用

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一般相対論でのアインシュタイン・ヒルベルト作用(Einstein–Hilbert action)(ヒルベルト作用ともいう)は、最小作用の原理を通したアインシュタインの場の方程式を導く作用のことを言う。(- + + +) 計量符号英語版を用いると、作用の重力部分は次により与えられる[1]

S = {1 \over 2\kappa} \int R \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x.

ここに g=\det(g_{\mu\nu})計量テンソルの行列式、Rリッチスカラー曲率で、\kappa = 8\pi Gc^{-4} とし、G はニュートンの万有引力定数c は真空宇宙の光速とする。積分は収束するならば、時空全体を渡ってとる。収束しないならば、S はもはやうまく定義することができないが、非常に大きな相対的にコンパクトな領域を渡る定義に置き換えると、アインシュタイン・ヒルベルト作用のオイラー=ラグランジュ方程式として、アインシュタイン方程式を表すことができる。

この作用は、1915年にダヴィッド・ヒルベルトにより最初に提案された。

議論[編集]

作用から方程式を導出することは、何点か有理な点がある。第一に、(マックウェルの理論のような)他の古典場の理論と一般相対論の統一を容易にすることができ、作用の項で定式化することができる。この過程で、作用から方程式を導出することは、計量を物質場と結合するときの元の項の自然な候補とみなせる。さらに、作用の対称性を研究することによりネーターの定理を通して保存量を識別することを容易とする。

一般相対論では、通常、作用は計量(と物質場)の汎函数であることを仮定するので、接続レビ・チビタ接続により与えられることが分かる。一般相対論のカルタン定式化英語版(Cartan formalism)(パラティーニの定式化(Palatini formulation)とも言う)は計量と接続が独立であることを前提にし、双方を独立に変化させ、非整数のスピンをもつフェルミオンの物質場を取り込むことを可能としている。

物質を持つアインシュタイン方程式は、アインシュタイン・ヒルベルト作用に物質の作用を加えることにより得られる。

アインシュタイン方程式の導出[編集]

理論の全作用を、アインシュタイン・ヒルベルト項に理論の中に現れる物質場を記述する項 \mathcal{L}_\mathrm{M} を加えることで与えられるとする。

S = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \, R + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x .

すると、作用原理は計量の逆数に関してこの作用の変分がゼロであることを言っているので、


\begin{align}
0 & = \delta S \\
  & = \int 
         \left[ 
            {1 \over 2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + 
            \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}
         \right] \delta g^{\mu\nu}\mathrm{d}^4x \\
  & = \int 
        \left[ 
           {1 \over 2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} +
             \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } 
            \right) +
           \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} 
        \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x.
\end{align}

を得る。この方程式は任意の変分 \delta g^{\mu\nu} に対して成立するので、

  \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}} 
= - 2 \kappa \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}},

は計量の場の運動方程式(equation of motion)である。この式の右辺は(定義により)ストレス・エネルギーテンソル(stress–energy tensor)に比例し、

 T_{\mu\nu}:=  \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} 
= -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}

を意味する。式の左辺を計算するために、リッチスカラー R と計量の行列式の変分が必要である。これらの計算は下記に掲げた教科書にみられるような標準的な計算であり、Carroll 2004 には具体的な計算が記載されている。

リーマンテンソル、リッチテンソル、リッチスカラーの変分[編集]

リッチスカラーの変分を計算するために、まず、リーマン曲率テンソルの変分を計算し、次いで、リッチテンソルの変分を計算する。リーマン曲率テンソルは次のように定義される。

 {R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}
    - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}
    + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
    - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.

リーマン曲率テンソルはレビ・チビタ接続  \Gamma^\lambda_{\mu\nu} とは独立であるので、リーマン曲率テンソルの変分は次のように計算できる。

\delta{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \delta\Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
- \delta\Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.

ここで、2つの接続の差異 \delta\Gamma^\rho_{\nu\mu} はテンソルであり、従って、この共変微分英語版(covariant derivative)を次のように計算することができる。

\nabla_\lambda (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu} ) = \partial_\lambda (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu} ) + \Gamma^\rho_{\sigma\lambda} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - \Gamma^\sigma_{\nu\lambda} \delta \Gamma^\rho_{\sigma\mu} - \Gamma^\sigma_{\mu\lambda} \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}.

ここで上のリーマン曲率テンソルの変分の表現は、2つの項の差

\delta R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} = \nabla_\mu (\delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}) - \nabla_\nu (\delta \Gamma^\rho_{\mu\sigma})

に等しいということが分かる。

リーマン曲率テンソルの変分は単純にリーマンテンソルの変分の 2つのインデックスを簡約することで求めることができる。

 \delta R_{\mu\nu} \equiv \delta R^\rho{}_{\mu\rho\nu} = \nabla_\rho (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu}) - \nabla_\nu (\delta \Gamma^\rho_{\rho\mu}).

リッチスカラーは、

 R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}.\!

として定義されるので、その逆計量 g^{\mu\nu} についての変分は


\begin{align}
\delta R &= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu}\\
         &= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + \nabla_\sigma \left( g^{\mu\nu} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - g^{\mu\sigma}\delta\Gamma^\rho_{\rho\mu} \right). 
\end{align}

により与えられる。二行目は、前に得たリッチ曲率の変分の結果と共変微分の計量との整合性 \nabla_\sigma g^{\mu\nu} = 0 を使った。

最後の項 \nabla_\sigma ( g^{\mu\nu} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - g^{\mu\sigma}\delta\Gamma^\rho_{\rho\mu} ) \sqrt{-g} をかけると、全微分(total derivative)となる。なぜならば、


\sqrt{-g}A^a_{;a} = (\sqrt{-g}A^a)_{,a} \;\mathrm{or}\;
\sqrt{-g}\nabla_\mu A^\mu = \partial_\mu\left(\sqrt{-g}A^\mu\right)

であり、ストークスの定理により、積分するときには境界項でのみ積分すればよい。従って、計量 \delta g^{\mu\nu} の変分が無限遠点でゼロとなるとき、この項は作用の変分に寄与しない。さらに、

\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} = R_{\mu\nu}

を得る。

行列式の変分[編集]

ヤコビの公式英語版(Jacobi's formula)と呼ばれる行列式の微分規則は、次の式を導きだす。

\,\! \delta g = \delta \det(g_{\mu\nu}) = g \, g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}

そうでない場合は、g_{\mu\nu}\! が対角的になるよう座標を変換して、その後に主対角上の要素の積を変分する規則を適用する。

このことを使うと、

\begin{align}
\delta \sqrt{-g} 
&= -\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g 
&= \frac{1}{2} \sqrt{-g} (g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu})
&= -\frac{1}{2} \sqrt{-g} (g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}) \,. \end{align}

が得られる。この最後の等式を示すことに、

g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}=-g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}

を使用した。この式は、逆行列の変分の規則である

\delta g^{\mu\nu} = - g^{\mu\alpha} ( \delta g_{\alpha\beta} ) g^{\beta\nu} \,.

から得られる。

このようにして

\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } = -\frac{1}{2} g_{\mu\nu} .

を結論付けることができる。


運動方程式[編集]

さて、必要な式の変形は全て整ったので、これらを計量場の運動方程式へ代入すると、

R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8 \pi G}{c^4}  T_{\mu\nu}

を得ることができる。この式はアインシュタインの場の方程式であり、

\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4}

を選ぶと、非相対論的極限ではニュートンの万有引力の法則であることが分かる。ここに G は重力定数である(詳細は対応原理[2]を参照)

宇宙定数[編集]

宇宙定数 Λ はラグランジアンであるので、新しい作用

S = \int  \left[ {1 \over 2\kappa} \left( R - 2 \Lambda \right) + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x

が場の方程式

R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4}  T_{\mu \nu}

となる。

参照項目[編集]

参考文献[編集]

脚注
  1. ^ Richard P. Feynman, Feynman Lectures on Gravitation, Addison-Wesley, 1995, ISBN 0-201-62734-5, p. 136, eq. (10.1.2)
  2. ^ アインシュタインの場の方程式(EFE)からニュートンの重力法則を導出するには、弱い場の近似と時間を遅くした近似の双方を使う。実際、EFEに現れる定数 G は、これらの 2つの近似をとることで決定される。
文献