4元ベクトル

4元ベクトルは、物理学、特に相対論的記述を必要とする分野で時間に対応する物理量と空間に対応する3次元ベクトルをまとめてベクトルとして表示したものである。

ベクトルということで太字で表されたり、3次元のベクトルと区別するため細字のままのこともある。4元ベクトルの添え字はギリシャ文字を使用することが多い。添え字の上付き・下付きによって、共変・反変を区別する。

定義

位置ベクトル

時間を t, 空間の3成分を $\boldsymbol{x}=(x,y,z)$ とすると、4元ベクトルは、

$x^\mu=(ct,\boldsymbol{x})=(ct,x,y,z)$

もしくは

$x^\mu=(\boldsymbol{x},ct)=(x,y,z,ct)$

として表される。この $x^\mu;$ は、時間と空間が結合された時空上の一点を表す位置ベクトルになっている。このとき $x^\mu;$ が指す点を事象(event)と呼ぶ。c は光速で定数であり、時間を長さの次元に換算しているだけである。

時間を最初にもってくるか、最後にもってくるかは、それを使う物理学者の好みの問題である。 なお、(ct,x,y,z), (x,y,z,ct)どちらの表記でも空間成分を第1,2,3と呼ぼうとする為、時間成分を前者では第0成分、後者では第4成分と呼ぶ。 また、時間成分に虚数単位 i をかけて、(ict,x,y,z) や (x,y,z,ict) とする場合もある。 しかし、どの定義を用いても、物理学の問題を記述する上では差し支えない。

反変ベクトルと共変ベクトル

座標変換 $x^\mu \to {x^\mu}'$ に対して、

$A^\mu\to{A^\mu}'=\frac{\partial {x^\mu}'}{\partial x^\nu}A^\nu$

のように変換されるベクトル A を反変ベクトルという。位置ベクトルや速度ベクトルは反変ベクトルである。反変ベクトルであることを明示するために、添え字は右肩につける。

同じ座標変換に対して、

$B_\mu\to{B_\mu}'=\frac{\partial x^\nu}{\partial {x^\mu}'}B_\nu$

のように変換されるベクトル B を共変ベクトルという。例えば静電ポテンシャルの空間微分として定義される電場は共変ベクトルである。共変ベクトルの添え字は右下につけると約束されている。

反変ベクトルと共変ベクトルは、計量テンソル g_μν を用いて互いに変換することができる。

$x_\mu=g_{\mu\nu}x^\nu \,$

$x^\mu=g^{\mu\nu}x_\nu \,$

ここ、および以下では(アインシュタインの)縮約規則を使う。同じ添え字が上付きと下付きで出てきた場合はその添え字に対して和(0,1,2,3)をとるΣ記号を省略している。

内積

4元ベクトルの内積は、計量テンソル g_μν を用いて、次のように定義される。

$A\cdot B=g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu=A_\nu B^\nu=A^\mu B_\mu$

この内積はローレンツ変換に対して不変となる。このような量をローレンツ不変量という。

4元ベクトルの絶対値(二乗)は3次元のものと違い、負の値をとりうる。

計量の符号を (-,+,+,+) にとれば、

$A^2=A\cdot A=-(A_0)^2+(A_1)^2+(A_2)^2+(A_3)^2=-(A_0)^2+|\boldsymbol{A}|^2$

時空上で、位置ベクトルの絶対値が正になる領域(|A|>|A₀|)を空間的、負になる領域(|A₀|>|A|)を時間的、零になる領域(|A₀|=|A|)を光的という。相対性理論では、空間的領域とは情報のやり取りができないとされる(因果律)。

4元ベクトルの例

• 4元運動量：時間成分がエネルギー E、空間成分が運動量 p である。

$p^\mu = \left( \frac{E}{c},\boldsymbol{p} \right)$

特に、その絶対値は質量であり、通常は負又は零である。

$p^2=-\frac{E^2}{c^2}+\boldsymbol{p}^2=-m^2c^2$

• 微分

$\partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\nabla \right)$

• 4元電流密度：時間成分が電荷密度 ρ、空間成分が電流密度 j

$J^\mu = (\rho c,\boldsymbol{j})$

• 4元ポテンシャル：時間成分がスカラーポテンシャル φ、空間成分がベクトルポテンシャル A

$A^\mu = \left( \frac{\phi}{c},\boldsymbol{A} \right)$

• 波数：時間成分が角振動数 ω、空間成分が波数 k

$k^\mu=\left( \frac{\omega}{c},\boldsymbol{k} \right)$

関連項目

• テンソル
• 相対性理論
• 計量