スピン角運動量

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スピン角運動量(スピンかくうんどうりょう、spin angular momentum)は、電子クォークなどの素粒子、およびそれらから構成されるハドロン原子核原子などの複合粒子が持つ角運動量で、量子力学的な自由度の 1 つである。単にスピンと呼ばれることもある。軌道角運動量は粒子の運動によって生じる角運動量だが、スピン角運動量は粒子が本来持っている角運動量なので、位置と運動量で記述することができない。スピン角運動量は軌道角運動量とともに、粒子の全角運動量に寄与する。

基本変数を「粒子の位置運動量」とする量子論ではスピンを記述することができないため、粒子が持つ「内部自由度(固有角運動量、内部角運動量とも呼ぶ)」としてスピンを基本変数に付け加える。この「位置と運動量とスピンなどの足りないもの」を基本変数とする量子論が「量子力学」である。基本変数を「とその時間微分または共役運動量」に選ぶ量子論、つまり「場の量子論」では電子は粒子ではなく「電子場」として記述され、電子場は電磁場の「偏光」(電磁場の向きが右回りに回転するか左回りに回転するか)に似た属性を持つ。これがスピンであり、場の自転のようなものなので、角運動量を伴う。その角運動量ベクトルで、スピンの向きと大きさを表す。このスピンの例でわかるように、古典的に場であったもの(電磁場など)だけでなく、電子のような古典的には粒子とみなされてきた物理系であっても、場を基本変数にしたほうが良く、適用範囲も広いことが判っている。[1]

歴史[編集]

原子から照射される光のスペクトルには、説明できない点があった。1925年にウーレンベックゴーズミットは、電子は大きさを持ち、それが自転していて,その自転の角運動量の大きさが\hbar/2であると仮定することによって、この問題を解決することに成功し、これを電子のスピン角運動量と呼んだ。しかしこの仮定は特殊相対論と矛盾した。そこでパウリはこのような古典的な描像を捨て、一般の角運動量\hbar \hat{\bold{J}}の固有値として半整数の価が許されることに注目し、この半整数の固有値をスピン角運動量とした[2]

スピン角運動量演算子[編集]

スピン角運動量は、3 つのエルミート演算子 sx, sy, sz で表される物理量である。これらの演算子の間には、軌道角運動量と同様の交換関係が成り立つ。

 \left[ s_y , s_z \right] = s_y s_z - s_z s_y = i \hbar s_x

 \left[ s_z , s_x \right] = s_z s_x - s_x s_z = i \hbar s_y

 \left[ s_x , s_y \right] = s_x s_y - s_y s_x = i \hbar s_z

ここで、 \hbar = h / 2 \pi であり、hプランク定数である。ただし軌道角運動量と異なり、空間座標とその共役運動量との外積として表される必要はなく、したがってその大きさは  \hbar = h / 2 \pi を単位として整数値のみでなく半整数値をもとりうる。

スピン角運動量の大きさの二乗を

s2 = sx2 + sy2 + sz2

と定義すると、これは各成分 sx, sy, sz のいずれとも交換する。一方各成分同士は交換しないので、s2 と各成分 sx, sy, sz のうちいずれか一つとを同時に対角化できる。多くの場合同時対角化する成分を sz とする。s2固有値s (s + 1) \hbar^2sz の固有値は m_s \hbar (ms = - s, - (s - 1), ..., s - 1, s) となる。msスピン磁気量子数という。s は、0 以上の整数または半整数の値をとる。素粒子の場合、s は素粒子の種類ごとに定まった値をもつ。

スピン 1/2[編集]

s = 1/2 の場合を考える。このとき、s2 の固有値は \frac{3}{4} \hbar^2 であり、sz の固有値は \frac{1}{2} \hbar, -\frac{1}{2} \hbar の 2 つが存在することとなる。従って対応する固有状態も 2 つであり、それぞれ上向きスピン下向きスピンと言うことが多い。

スピン角運動量の各成分 (sx, sy, sz) はパウリ行列 (σ = (σx, σy, σz)) を使って以下のように表される。

 s_x = {\hbar \over 2} \sigma_x = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix}
0 && 1 \\
1 && 0
\end{pmatrix}

 s_y = {\hbar \over 2} \sigma_y = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix}
0 && -i \\
i && 0
\end{pmatrix}

 s_z = {\hbar \over 2} \sigma_z = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix}
1 && 0 \\
0 && -1
\end{pmatrix}

以上は、sz に関して対角となるようにしてある。

スピンと統計性[編集]

s が半整数の値をもつような粒子はフェルミ粒子であり、s が整数値をとる粒子はボース粒子であることが知られている。s の値と統計性の間のこのような関係は、相対論的な場の量子論によって説明できる。

脚注[編集]

  1. ^ 清水明 『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』 サイエンス社2004年ISBN 4-7819-1062-9
  2. ^ 砂川重信 『量子力学』 岩波書店1991年ISBN 4000061399

関連項目[編集]

外部リンク[編集]