スピン角運動量

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スピン角運動量(スピンかくうんどうりょう、: spin angular momentum)は、素粒子電子クォークなど)、複合粒子(素粒子から構成されるハドロン原子核原子など)が持つ量子力学的な自由度の 1 つである。単にスピンと呼ばれることもある。粒子が回転運動をするとき、全角運動量は軌道角運動量とスピン角運動量が寄与する。軌道角運動量は、粒子の位置と運動量で表すことができる角運動量だが、スピン角運動量は、量子力学的な粒子が本来持っている角運動量で、位置と運動量で記述することができない[1]。そのため、量子論に、粒子が持つ「内部自由度(固有角運動量、内部角運動量とも呼ぶ)」としてスピンを基本変数に付け加える。この「位置と運動量とスピンなどの足りないもの」を基本変数とする量子論が「量子力学」である。基本変数を「とその時間微分または共役運動量」に選ぶ量子論、つまり「場の量子論」では電子は粒子ではなく「電子場」として記述され、電子場は電磁場の「偏光」(電磁場の向きが右回りに回転するか左回りに回転するか)に似た属性を持つ。これがスピンであり、場の自転のようなものなので、角運動量を伴う。その角運動量ベクトルで、スピンの向きと大きさを表す。このスピンの例でわかるように、古典的に場であったもの(電磁場など)だけでなく、電子のような古典的には粒子とみなされてきた物理系であっても、場を基本変数にしたほうが良く、適用範囲も広いことが判っている。[2]

歴史[編集]

ナトリウムのスペクトルを観測する実験で、磁場においたD線が 2 本に分裂することが発見され(ゼーマン効果)、これは電子がいまだ知られていない 2 値の量子自由度があるためと考え、1925年にウーレンベックゴーズミットは、電子は原子核の周りを公転する軌道角運動量の他に、電子が質点ではなく大きさを持ち、かつ電子自身が自転しているのではないか、という仮説をたてた[3][4]。この仮定では、その自転の角運動量の大きさが\hbar/2であるとし、自転の回転方向が異なるため、公転に伴う角運動量との相互作用でエネルギー準位が 2 つに分裂したと考えると実験の結果をうまく説明できた。そしてこの自由度を電子のスピン角運動量と呼んだ。

ただし、実際にこの仮定通りスピン角運動量が電子の自転に由来していると考えると、電子が大きさを持ち、かつ光速を超える速度で自転していなければならないことになり、これは特殊相対論と矛盾してしまう。そのため、1925年にラルフ・クローニッヒ英語版 によって提案されたものの、パウリによって否定されていた。パウリは、自転そのものを考えなければならない古典的な描像を捨て、一般の角運動量 \hbar \hat{\bold{J}} の固有値として半整数の価が許されることに注目し、この半整数の固有値をスピン角運動量とした[5]

その後発展した標準模型においても、電子は大きさ 0 の質点として扱っても実験的に高い精度で矛盾がなく、電子に内部構造があるか(スピン角運動量などの内部自由度に起源があるか)はわかっていない。

スピン角運動量演算子[編集]

スピン角運動量は、3 つのエルミート演算子 sx, sy, sz で表される物理量である。これらの演算子の間には、軌道角運動量と同様の交換関係が成り立つ。

 \left[ s_y , s_z \right] = s_y s_z - s_z s_y = i \hbar s_x

 \left[ s_z , s_x \right] = s_z s_x - s_x s_z = i \hbar s_y

 \left[ s_x , s_y \right] = s_x s_y - s_y s_x = i \hbar s_z

ここで、 \hbar = h / 2 \pi であり、hプランク定数である。ただし軌道角運動量と異なり、空間座標とその共役運動量との外積として表される必要はなく、したがってその大きさは  \hbar = h / 2 \pi を単位として整数値のみでなく半整数値をもとりうる。

スピン角運動量の大きさの二乗を

s2 = sx2 + sy2 + sz2

と定義すると、これは各成分 sx, sy, sz のいずれとも交換する。一方各成分同士は交換しないので、s2 と各成分 sx, sy, sz のうちいずれか一つとを同時に対角化できる。多くの場合同時対角化する成分を sz とする。s2固有値s (s + 1) \hbar^2sz の固有値は m_s \hbar (ms = - s, - (s - 1), ..., s - 1, s) となる。msスピン磁気量子数という。s は、0 以上の整数または半整数の値をとる。素粒子の場合、s は素粒子の種類ごとに定まった値をもつ。

スピン 1/2[編集]

s = 1/2 の場合を考える。このとき、s2 の固有値は \frac{3}{4} \hbar^2 であり、sz の固有値は \frac{1}{2} \hbar, -\frac{1}{2} \hbar の 2 つが存在することとなる。従って対応する固有状態も 2 つであり、それぞれ上向きスピン下向きスピンと言うことが多い。

スピン角運動量の各成分 (sx, sy, sz) はパウリ行列 (σ = (σx, σy, σz)) を使って以下のように表される。

 s_x = {\hbar \over 2} \sigma_x = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix}
0 && 1 \\
1 && 0
\end{pmatrix}

 s_y = {\hbar \over 2} \sigma_y = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix}
0 && -i \\
i && 0
\end{pmatrix}

 s_z = {\hbar \over 2} \sigma_z = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix}
1 && 0 \\
0 && -1
\end{pmatrix}

以上は、sz に関して対角となるようにしてある。

スピンと統計性[編集]

s が半整数の値をもつような粒子はフェルミ粒子であり、s が整数値をとる粒子はボース粒子であることが知られている。s の値と統計性の間のこのような関係は、相対論的な場の量子論によって説明できる。

脚注[編集]

  1. ^ 粒子を質点として運動方程式を考えてしまうと、質点は大きさがないため内部自由度を持てず、自転のような運動を扱えない。
  2. ^ 清水明 『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』 サイエンス社2004年ISBN 4-7819-1062-9
  3. ^ G.E. Uhlenbeck, S. Goudsmit (1925). “Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons”. Naturwissenschaften 13 (47): 953-954. doi:10.1007/BF01558878. 
  4. ^ G.E. Uhlenbeck, S. Goudsmit (1926). “Spinning Electrons and the Structure of Spectra”. Nature 117: 264-265. doi:10.1038/117264a0. 
  5. ^ 砂川重信 『量子力学』 岩波書店1991年ISBN 4000061399

関連項目[編集]

外部リンク[編集]