波動関数

左：量子ノイズ、中央：波束、右：ウィグナー分布関数

量子力学

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

不確定性原理

紹介 · 数学的基礎 背景 古典力学 前期量子論 基本概念 量子状態 · 波動関数 重ね合わせ · 可観測量 相補性 · 二重性 · 不確定性 トンネル効果 · 排他原理 エーレンフェストの定理 量子もつれ · デコヒーレンス 定式化 シュレーディンガー描像 ハイゼンベルク描像 相互作用描像 波動力学 行列力学 ファインマン経路積分 方程式 シュレーディンガー方程式 ハイゼンベルク方程式 パウリ方程式 クライン＝ゴルドン方程式 ディラック方程式 実験 二重スリット実験 シュテルン＝ゲルラッハの実験 デイヴィソン＝ガーマーの実験 ベル不等式のテスト ポッパーの実験 シュレーディンガーの猫 エリツァー＝ヴァイドマン爆弾テスト 量子消しゴム実験 解釈 観測問題 · ボーム · 意識原因収縮 · 無矛盾歴史 · コペンハーゲン · アンサンブル · 隠れた変数 · 多世界 · 客観的崩壊 · ポンディシェリー · 量子論理 · 関係 · 推計 · 交流 関連項目 散乱理論 相対論的量子力学 場の量子論 量子情報 量子カオス 科学者 ベル • ボーム • ボーア • ボルン • ボース • ド・ブロイ • ディラック • エーレンフェスト • エヴェレット • ファインマン • ハイゼンベルク • ヨルダン • クラマース • フォン・ノイマン • パウリ • プランク • シュレーディンガー • ゾンマーフェルト • ヴィーン • ウィグナー

波動関数 （はどうかんすう、Wave function）は、もともとは波動現象一般をあらわす関数のことだが、現在ではほぼ量子状態（より正確には純粋状態）を表す複素数値関数のことを指す。

定義

エルミート演算子$\hat{A} \$の固有値が離散的である場合を考える。 エルミート演算子$\hat{A} \$の固有ベクトル$\{ | a_n \rangle \} \$の全体は完全系である。 よって任意の状態ベクトル$| \psi \rangle \$を$\{ | a_n \rangle \} \$の線形結合として表すことができる。 つまり、展開係数を$\psi(a_n) \$とおくと、

$| \psi \rangle = \sum_n \psi(a_n)| a_n \rangle$

この展開係数$\psi(a_n) \$を「基底$\{ | a_n \rangle \} \$表示での波動関数」と呼ぶ。 またこの式と$| a_n \rangle \$との内積をとると、

$\langle a_n | \psi \rangle = \psi(a_n)$

よって基底をひとつ決めると状態ベクトルと波動関数は、片方が分かればもう片方を求めることができる、つまり一対一に対応する。 よって波動関数はその変数が決まっているときには、状態ベクトルと等価である。

基底として、位置を表す演算子$\hat{x} \$の固有ベクトル、つまり位置が定まった状態の全体$\{ | x \rangle \} \$を選んだ場合、任意の状態を$\{ | x \rangle \} \$の重ね合わせで表現できる。この重ね合わせ係数$\psi(x) \$を「座標表示での波動関数」、「シュレディンガーの波動関数」などと呼ぶ。重ね合わせ係数$\psi(x) \$を定めれば$| \psi \rangle \$は一意的に決まるので$| \psi \rangle \$の代わりに$\psi(x) \$を用いても状態を表せる。扱いやすさなどから$\psi(x) \$だけを用いることも多い．

基底として、運動量を表す演算子$\hat{p} \$の固有ベクトル、つまり運動量が定まった状態の全体$\{ | p \rangle \} \$を選んだ場合、$\psi(p) \$を「運動量表示での波動関数」と呼ぶ。

波動関数の性質

• 波動関数は、物体の状態を表現するもの。
• 一般に複素数関数である。
• 古典的な波やベクトルと同様に重ね合わせの原理を満たす。
• 波動関数の波の速さ（位相速度）は光速度を超える。
• 観測行為などがあると一瞬でデルタ関数的に収縮する。

確率振幅

ボルンの規則によると、ある状態$|\psi\rang \$における物理量（オブザーバブル）$A \$の測定をしたとき、その測定値の確率分布は、

$P(a) = | \psi (a) |^2 \$

となる。

例えば、ある状態$|\psi\rang \$における運動量$p \$の測定を数多くした時、測定値が「運動量を表すエルミート演算子$\hat{p} \$の固有値のひとつ$p_1 \$」である確率は

$P(p_1) = | \psi (p_1) |^2 \$

に収束する。

他にも波動関数$\left. \psi(x,t) \right.$の二乗は、「その状態において時刻$t \$で位置の測定をしたとき、測定値のバラつきを表す確率分布が$| \psi(x,t)|^2 \$である」ということなので、「時刻 $\left. t \right.$ に位置 $\left. x \right.$ での存在確率」と解釈される。

$P(x,t)=\mid\psi(x,t)\mid^2$

しかし、そのためには

$\int{}P(x,t)dx=1$

のように規格化しなければならない。つまり「ある位置の測定値が得られる確率」をすべての位置で合計すると１でなければならない。

重ね合わせと観測問題

波動関数とは端的に言うと「物体の『状態』そのものの波動」であり、この事は物体の状態（例えば「犬がおなかをすかせています…」という事でさえも）が波で表される事を示しており、また波は重ね合わせの原理（波1と波2が同時に存在出来る）を満たすため、原理的には物体が同時に複数の相異なる状態を取りえる（シュレーディンガーの猫）事を示す。その事が「本当に同時に複数の状態を取っている」のか、「人間には認識できない超光速で状態が転移し続けている」のかは議論が分かれる所である。

しかし実際に1回の実験で観測される物体の状態はただ一つであるし、また我々の日常での実感でも、この重ね合わせの原理は矛盾しているように思える。その矛盾を回避する為に現在まで多くの解釈が与えられた。その中で数学的に等価であり、しかし物理的に全く異なる2つの有力な解釈が「コペンハーゲン解釈」「エヴェレット解釈」である。詳しくは当該項目を参照のこと。

コペンハーゲン解釈では、「観測者」の実行する「観測」による「波動関数の収縮」が、物体の観測される状態をただ一つに決定するとされた。しかしその「観測者」の満たすべき資質や波動関数の収縮速度が光速を超える事などが問題となった。エヴェレット解釈では「波動関数の収縮」を必要とはしない。しかし我々が住む日常世界の他に全く異なる並行世界が存在する事を期待させる為に、様々な空想を生んだ。近年、「デコヒーレンス（The Quantum Decoherence、異なる量子状態間の干渉が断ち切られる現象）」の発見によって「波動関数の収縮」あるいは「並行世界の消滅」の機構は説明されつつある。しかしそれでも「波動関数の実在性」そのものに関する解答は存在していない。

波動関数の次元

波動関数の次元は、状況によって異なる。 規格化条件から波動関数の次元を求めることができる。

• 離散固有値の固有関数で表示した波動関数は、常に無次元量である。
• 連続固有値の固有関数で表示した波動関数は、状況によって様々な規格化条件があるので、波動関数の次元は状況によって異なる。

波動関数の呼ばれ方

状況、場面によって波動関数はいろいろな呼ばれ方をする。話の流れによっては単に固有状態とか固有関数と言われることも多い。

その他に、固有ベクトル、状態ベクトル（状態ベクトルを波動力学の形式で記述したものが波動関数である）、化学や物性物理学の分野では軌道（関数）などが波動関数とほぼ同義に扱われることがある。但し、これは特定の状況でそうなっている場合もあり、意味が異なる場合もある。

波動関数の実在性

波動関数が実在する物理量なのかどうかは、今でもわかっていない。人が「質量は実在するか？」と聞かれれば間違いなくそうだと答えるだろう。しかし、波動関数の場合には位相速度が光速を超える事、また「波動関数の収縮」速度が光速を超えるか超えないか、が問題となる。EPRパラドックスとして知られており、量子的な現象はそのような性質を持つものである、と一般には解されているが、「実在する物理量だとすると、その収縮速度は光速を超えられない事」であり「これは重大なパラドックスを引き起こす」とする向きもある。

参考文献

• 清水明 『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』 サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9。

関連項目

• 量子力学
• シュレーディンガー方程式
• 波動力学
• 第一原理バンド計算
• シュレーディンガーの猫
• 量子デコヒーレンス