クロス積

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ベクトル解析において、クロス積（クロスせき、cross product）、ベクトル積（ベクトルせき、vector product）あるいは外積（がいせき）とは、2 つの三次元ベクトル a と b に対して定義される演算 a × b である。

[編集] 定義

三次元ベクトル a, b の外積は次の定義による大きさと向きを持つ三次元ベクトルである。 a, b のなす角を θ とするとき、外積の大きさ $|\mathbf a\times\mathbf b|$ は、

$|\mathbf a\times\mathbf b| = |\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta$

で与えられ、その向きは、a, b を含む平面で a をその始点の周りに (θ だけ) 回転させて b に重ねるとき、右ねじの進む向きである。すなわち，親指をa、人差し指をbとしたときに中指が外積の向きを表す(右手系)。これからわかるように、外積の大きさは、二つのベクトルが作る平行四辺形の面積をあらわす。

成分で書くと、 $\mathbf a = (a_x, a_y, a_z)$ , $\mathbf b = (b_x, b_y, b_z)$ のとき、

$\mathbf a\times\mathbf b = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)$

エディントンのイプシロン $ε i j k$ を用いると、

$(\mathbf a\times\mathbf b)_i=\epsilon_{ijk} a_j b_k$

行列式を使うと次のようにも書ける。

$\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z\\ \mathbf e_x & \mathbf e_y & \mathbf e_z \end{vmatrix} = \left( \begin{vmatrix}a_y & a_z \\ b_y & b_z\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_z & a_x \\ b_z & b_x\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_x & a_y \\ b_x & b_y\end{vmatrix} \right)$

ここで、e_x, e_y, e_z はそれぞれ x 軸, y 軸, z 軸の正の向きの単位ベクトル、e_x = (1, 0, 0), e_y = (0, 1, 0), e_z = (0, 0, 1) である。

[編集] 外積の性質

任意のベクトル a, b, c ∈ R³、任意のスカラー k ∈ R について、

$\mathbf a\times\mathbf a = \mathbf 0$
$\mathbf b\times\mathbf a = -\mathbf a\times\mathbf b$
$(\mathbf a + \mathbf b)\times\mathbf c = \mathbf a\times\mathbf c + \mathbf b\times\mathbf c$
$\mathbf a\times(\mathbf b + \mathbf c) = \mathbf a\times\mathbf b + \mathbf a\times\mathbf c$
$(k\mathbf a)\times\mathbf b = \mathbf a\times(k\mathbf b) = k(\mathbf a\times\mathbf b)$
$\mathbf a\times\mathbf 0 = \mathbf 0\times\mathbf a = \mathbf 0$
$\mathbf a\times(\mathbf b\times \mathbf c) + \mathbf b\times(\mathbf c\times \mathbf a) + \mathbf c\times(\mathbf a\times \mathbf b) = \mathbf 0$
（ベクトル三重積） $\mathbf a \times ( \mathbf b \times \mathbf c) = (\mathbf a \cdot \mathbf c)\mathbf b - (\mathbf a \cdot \mathbf b)\mathbf c$

が成立する。ドット積とは性質 1. $\mathbf a\cdot\mathbf a = |\mathbf a|^2$ , 2. $\mathbf a\cdot\mathbf b = \mathbf b\cdot\mathbf a$ が異なることに注意が必要。 7式は、いわゆる Jacobi Identity である。