クロス積

クロス積（クロスせき、cross product）、ベクトル積（ベクトルせき、vector product）とは、ベクトル解析において、2 つの3次元ベクトル a と b に対して定義される演算 a × b である。これは、外積の3次元での特殊ケースである。

定義

3次元ベクトル a, b の外積は次の定義による大きさと向きを持つ3次元ベクトルである。a, b のなす角を θとするとき、外積の大きさ |a × b| は、

$|\mathbf a\times\mathbf b| = |\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta$

で与えられる。これからわかるように、外積の大きさは、二つのベクトルが作る平行四辺形の面積である。また、その向きは、右手系の場合、a, b を含む平面で a をその始点の周りに (θだけ) 回転させて b に重ねるとき、右ねじの進む向きである。すなわち，右手の親指をa、人差し指をbとしたときに中指が外積の向きを表す。なお、左手系の場合、b をその始点の周りに (θだけ) 回転させて a に重ねるとき、右ねじの進む向きである。すなわち、左手の親指をa、人差し指をbとしたときに中指が外積の向きを表す。

成分で書くと、$\mathbf a = (a_x, a_y, a_z)$ , $\mathbf b = (b_x, b_y, b_z)$ のとき、

$\mathbf a\times\mathbf b = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)$

エディントンのイプシロン$\epsilon_{ijk}$を用いると、

$(\mathbf a\times\mathbf b)_i=\sum_{j,k}\epsilon_{ijk} a_j b_k$

行列式を使うと次のようにも書ける。

$\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z\\ \mathbf e_x & \mathbf e_y & \mathbf e_z \end{vmatrix} = \left( \begin{vmatrix}a_y & a_z \\ b_y & b_z\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_z & a_x \\ b_z & b_x\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_x & a_y \\ b_x & b_y\end{vmatrix} \right)$

ここで、e_x, e_y, e_z はそれぞれ x 軸, y 軸, z 軸の正の向きの単位ベクトル、e_x = (1, 0, 0), e_y = (0, 1, 0), e_z = (0, 0, 1) である。

座標系との関係

クロス積の定義は、直交座標系の座標軸の正の順序（もしくはその偶置換）$\, i,\,j,\,k$に基づき、$\, \boldsymbol{e}_i \times \boldsymbol{e}_j = \boldsymbol{e}_k$（例えば$\, \boldsymbol{e}_x \times \boldsymbol{e}_y = \boldsymbol{e}_z$）となる。実空間でどのような方向関係にあるかは、座標系が右手系か左手系かに依存することになる。

外積の性質

任意のベクトル a, b, c ∈ R³、任意のスカラー k ∈ R について、

1. $\mathbf a\times\mathbf a = \mathbf 0$
2. $\mathbf b\times\mathbf a = -\mathbf a\times\mathbf b$
3. $(\mathbf a + \mathbf b)\times\mathbf c = \mathbf a\times\mathbf c + \mathbf b\times\mathbf c$
4. $\mathbf a\times(\mathbf b + \mathbf c) = \mathbf a\times\mathbf b + \mathbf a\times\mathbf c$
5. $(k\mathbf a)\times\mathbf b = \mathbf a\times(k\mathbf b) = k(\mathbf a\times\mathbf b)$
6. $\mathbf a\times\mathbf 0 = \mathbf 0\times\mathbf a = \mathbf 0$
7. $\mathbf a\times(\mathbf b\times \mathbf c) + \mathbf b\times(\mathbf c\times \mathbf a) + \mathbf c\times(\mathbf a\times \mathbf b) = \mathbf 0$
8. （ベクトル三重積）$\mathbf a \times ( \mathbf b \times \mathbf c) = (\mathbf a \cdot \mathbf c)\mathbf b - (\mathbf a \cdot \mathbf b)\mathbf c$

が成立する。ドット積とは性質

1'.　$\mathbf a\cdot\mathbf a = |\mathbf a|^2$

2'.　$\mathbf a\cdot\mathbf b = \mathbf b\cdot\mathbf a$

が異なることに注意が必要。7式は、いわゆるヤコビ恒等式(Jacobi Identity)である。

ベクトル三重積性質の証明

詳細は「ベクトル三重積」を参照

ベクトル三重積：$\mathbf a \times ( \mathbf b \times \mathbf c)$

ベクトル$\mathbf a$とベクトル$(\mathbf b \times \mathbf c)$の外積であるから、これはベクトルである。そのx 成分は

$\begin{align} \{a \times (b \times c) \}_x &= a_y (b \times c)_z - a_z (b \times c)_y \\ &= a_y (b_x c_y - b_y c_x) - a_z (b_z c_x -b_x c_z) \\ &= a_y b_x c_y - a_y b _y c_x - a_z b_z c_x + a_z b_x c_z \\ &= ( a_y c_y + a_z c_z) b_x - (a_y b_y + a_z b_z) c_x \\ &= (a_y c_y + a_z c_z) b_x + a_x b_x c_x - (a_y b_y + a_z b_z) c_x - a_x b_x c_x \\ &=(a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z) b_x - (a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z) c_x \\ &=(a \cdot c) b_x - (a \cdot b) c_x \end{align}$

同様にして、y 成分、z 成分は、

$\begin{align}&\{a \times (b \times c) \}_y = (a \cdot c) b_y - (a \cdot b) c_y \\ & \{a \times (b \times c) \}_z = (a \cdot c) b_z - (a \cdot b) c_z \end{align}$

ゆえに、

$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$

多次元への拡張

行列式を使った拡張

行列式による定義

$\mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix} \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \mathbf e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \mathbf e_3 \end{vmatrix} = \left( \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \right)$

を拡張して、n 次元ベクトルの n - 1 項演算としてのクロス積

$\times(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \cdots, \mathbf a_{n-1}) = \mathbf a_1 \times \mathbf a_2 \times \cdots \times \mathbf a_{n-1} = (\pm)^{n+1} \begin{vmatrix} \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \cdots & \mathbf e_n \\ a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n} \end{vmatrix}$

を定義できる。なお、2項演算以外では中置記法 $a \times b$ は不便なため、$\times(\cdots)$ の関数表現を使った。

$(\pm)^{n+1}$ は、奇数次元では1だが偶数次元では複号 $\pm$ となることを意味する。これは、上の式では基底を1行目においたが、最後の行に置いた場合、偶数次元では上の行列式の-1倍になることに起因する。

たとえば、1、2、4次元ではそれぞれ定数、単項演算、三項演算

$\times() = \det(\mathbf e_1) = (1)$

$\times(\mathbf a) = \pm \begin{vmatrix} \mathbf e_1 & \mathbf e_2 \\ a_1 & a_2 \end{vmatrix} = (\pm a_2, \mp a_1)$

$\times(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c) = \mathbf a \times \mathbf b \times \mathbf c = \pm \begin{vmatrix} \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \mathbf e_3 & \mathbf e_4 \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \end{vmatrix} = \left( \pm \begin{vmatrix} a_2 & a_3 & a_4 \\ b_2 & b_3 & b_4 \\ c_2 & c_3 & c_4 \end{vmatrix}, \mp \begin{vmatrix} a_3 & a_4 & a_1 \\ b_3 & b_4 & b_1 \\ c_3 & c_4 & c_1 \end{vmatrix}, \pm \begin{vmatrix} a_4 & a_1 & a_2 \\ b_4 & b_1 & b_2 \\ c_4 & c_1 & c_2 \end{vmatrix}, \mp \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \right)$

となる（複合は同順）。

多元数を使った拡張

3次元のクロス積

$(a_1, a_2, a_3) \times (b_1, b_2, b_3) = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$

は、4元数（$a + bi + cj + dk$）のベクトル成分（$bi + cj + dk$ の部分）の乗算

$(a_1 i + a_2 j + a_3 k) (b_1 i + b_2 j + b_3 k) = (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) + (a_2 b_3 - a_3 b_2) i + (a_3 b_1 - a_1 b_3) j + (a_1 b_2 - a_2 b_1) k \,$

のベクトル成分で定義できる。ちなみに、スカラー成分 $a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$ は内積になっている。

これを多元数に拡張すると、n + 1 元数の乗算から n 次元でのクロス積を定義できる。つまり、実数（1元数）、複素数（2元数）、4元数、8元数の乗算から、0次元、1次元、3次元、7次元でのクロス積が定義できる（要素数が多くなるため縦ベクトルで表す）。

$\begin{align} &() \times () = () \\ & (a_1) \times (b_1) = (0) \\ & \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix} \\ & \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_6 \\ a_7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \\ b_5 \\ b_6 \\ b_7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 - a_4 b_5 + a_5 b_4 - a_6 b_7 + a_7 b_6 \\ -a_1 b_3 + a_3 b_1 - a_4 b_6 + a_5 b_7 + a_6 b_4 - a_7 b_5 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 - a_4 b_7 - a_5 b_6 + a_6 b_5 + a_7 b_4 \\ a_1 b_5 + a_2 b_6 + a_3 b_7 - a_5 b_1 - a_6 b_2 - a_7 b_3 \\ -a_1 b_4 - a_2 b_7 + a_3 b_6 + a_4 b_1 - a_6 b_3 + a_7 b_2 \\ a_1 b_7 - a_2 b_4 - a_3 b_5 + a_4 b_2 + a_5 b_3 - a_7 b_1 \\ -a_1 b_6 + a_2 b_5 - a_3 b_4 + a_4 b_3 - a_5 b_2 + a_6 b_1 \end{pmatrix} \end{align}$

これら以外の次元では、必要な対称性を持つ乗算が定義できないため、クロス積は定義できない。また、0次元では自明なことを確認できるにすぎず、1次元のクロス積は常に零ベクトルである。

直積を使った拡張（外積）

クロス積は、直積

$\mathbf{a} \circ \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b}^{\operatorname{T}} = (a_i b_j)$

を使って

$\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf a \circ \mathbf b - \mathbf b \circ \mathbf a$ (*)

と定義できる。ただしここで、反対称テンソルと擬ベクトルを等価

$(x, y, z) = \begin{pmatrix} 0 & z & -y \\ -z & 0 & x \\ y & -x & 0 \end{pmatrix}$

としたが、これをホッジ作用素で写像として明示すると

$\mathbf a \times \mathbf b = * ( \mathbf a \circ \mathbf b - \mathbf b \circ \mathbf a)$

と書ける。

(*)式はそのまま、一般次元での定義に使える。ただし、これで定義できる積は、クロス積ではなく外積と呼び、

$\mathbf a \wedge \mathbf b = \mathbf a \circ \mathbf b - \mathbf b \circ \mathbf a$

で表す。外積は3次元ではクロス積に一致するが、同義語ではないので注意が必要である。

外積は2階の反対称テンソルであり、これはホッジ作用素により、n 次元では n - 2 階の擬テンソルに写像できる。つまり、2次元では擬スカラー（0階の擬テンソル）、3次元では擬ベクトル（1階の擬テンソル）に写像できるが、4次元以上ではテンソルとして扱うしかない。

関連項目

• ドット積
• ウェッジ積