ヤコビ恒等式

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数学におけるヤコビ恒等式(Jacobi identity)とは、二項演算に対して考えられる性質の一つ。名前はドイツの数学者 カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに由来する。

定義[編集]

集合 S に二項演算 *可換かつ単位元 0 を持つ二項演算 + が定義され、この(S,+,*) について、

a*(b*c) + c*(a*b) + b*(c*a) = 0\quad \forall{a,b,c}\in S.

が成立するとき、(S,+,*) はヤコビ恒等式を満たすという。

  • S+ によって加法群の構造を持ち、ねじれ元を持たないとき、S の元は * に関して冪零である。実際上記の恒等式で a = b = c とおけばよい。

式の解釈[編集]

S+ によって加法群の構造を持つとしよう。このときヤコビ恒等式は

x*(b*c) = -c*(x*b) - b*(c*x)

という形で書くことができる。左辺を x に対する b * c の随伴作用と解釈すると、右辺はそれを b の作用と c の作用で逐次的に行って実現するものと解釈することができる。

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三次元ベクトルにおける外積

三次元のベクトル空間における外積(クロス積)はヤコビ恒等式を満たす。

\mathbf a\times(\mathbf b\times \mathbf c) + \mathbf b\times(\mathbf c\times \mathbf a) +
\mathbf c\times(\mathbf a\times \mathbf b) = \mathbf 0
リー環

リー環における積演算である括弧積はヤコビ恒等式を満たす。

[[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0 \,

括弧積を随伴作用と考えれば、環上の微分におけるライプニッツ則として捉えることができる。すなわち、

\mathrm{ad}_X(Y)=[X,Y] \,

と表せば、上述のヤコビ恒等式は

\mathrm{ad}_Z([X,Y])=[\mathrm{ad}_Z(X),Y]+[X,\mathrm{ad}_Z(Y)]
 \,

であり、ライプニッツ則として解釈できる。

ポアソン括弧

解析力学におけるポアソン括弧はヤコビ恒等式を満たす。

\{ \{ f, g \}, h \}+\{ \{ h, f \}, g \}+\{ \{ g, h \},f\}=0 \,
交換関係

量子力学における交換子はヤコビ恒等式を満たす。

[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0 \,

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