跡 (線型代数学)

数学、特に線型代数学における跡（せき、英: trace; トレース、独: Spur; シュプール）あるいは対角和（たいかくわ）は、線型写像（あるいは行列）の主対角成分の総和として定義される。それは固有値の総和（固有値和）に等しいことが導かれる。

定義

体 K 上のベクトル空間 V 上の線形写像 f が有限次元の像を持つとき、V の有限個の元 x₁, ..., x_n と双対空間 V* の元 y₁, ..., y_n が存在して

任意の z ∈ V について f(z) = ∑ y_i(z) x_i

となっている。このとき、∑ y_i(x_i) は x₁, ..., x_n と y₁, ..., y_n の選び方によらず f のみによって定まる量となり、 f の跡あるいは指標 (distribution character) tr(f) とよばれる。同様にして一般に環の上の射影加群上の有限階数準同形写像について同じ式によって跡が定義される。

とくに n-次正方行列 (a_ij) の跡は

$\mathrm{tr}(a_{ij}) := \sum _{i=1} ^n a_{ii}$

に等しい。

派生概念

被約トレース

体の拡大 K ⊂ L が与えられたとき、L の各元 a は乗法によって L 上のK-線形写像を定めるが、そのとき対応する跡のことを a の K 上の被約トレースまたは跡 tr_L/K(a) という。体 K 上代数的な数 a が与えられたとき、拡大体 L として a が生成する体 K(a) をとり、そこでの跡を a の跡と呼ぶこともある。これは最小多項式の解の総和にひとしい。特に、単に代数的数の跡と言った場合には有理数体上の跡 tr_Q(a)/Q(a) をさす。

トレースクラス

体 K 上にノルムが与えられているとき、無限次元空間バナッハ空間上の作用素 f で、∑ |y_i(z) x_i| が有限となるようなV の元の列 x₁, ..., x_n,... と双対空間 V* の元の列 y₁, ..., y_n , ... によって

f(z) = ∑ y_i(z) x_i

が成り立っているようなものについては、ふたたび f のみによる量として跡 tr(f) = ∑ y_i(x_i) が定義される。このような作用素はトレースクラス（L¹-級）の作用素とよばれる。

性質

二つの線形空間 E, F とそれらの間の線形写像 a: E → F, b: F → E について tr(ab) = tr(ba) が成り立つ。特に、正方行列 A と可逆行列 X について不変性 tr(A) = tr(XAX⁻¹) が成り立っている。行列の冪に関する跡 p_k(A) = tr(A^k) もこのような不変性を持つ。一般に正方行列の成分に関する多項式写像 φ: M_n(K) → K で、このような不変性 φ(A) = φ(XAX⁻¹) を満たすものは、p₁, ..., p_nに関する多項式によって表すことができる。

とくに n-次正方行列 A=(a_ij) , B=(b_ij)について, 積ABの(i, j)成分は

$\sum _{k=1} ^n a_{ik} b_{kj}$

なので,

$\mathrm{tr}(AB) = \sum _{i=1} ^n \sum _{k=1} ^n a_{ik} b_{ki}=\sum _{k=1} ^n \sum _{i=1} ^n b_{ki} a_{ik}=\mathrm{tr}(BA)$

固有値の和に等しいこと

正方行列Aは, 適当な正則行列Pによって, P^-1APが上三角行列になるように変形できる（ジョルダン標準形）。この上三角行列の対角成分には固有値が並ぶ。従って, この上三角行列のトレースは固有値の総和である。一方, 上述のように, 任意の正方行列X, Yについて, tr(XY)=tr(YX)が成り立つ。従って, この上三角行列のトレースは, tr(P^-1AP)=tr((P^-1A)P)=tr(P(P^-1A))=tr(PP^-1A))=tr(A)となり, Aのトレースに等しい。従って, Aのトレースと, Aの固有値の総和は, 等しい。

関連項目

• 密度演算子
• 行列式:正方行列の固有値の総乗

参考文献

• 齋藤 正彦 『線型代数入門』 東京大学出版会〈基礎数学〉、1995年。ISBN 978-4130620017。