量子状態

量子力学

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

不確定性原理

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量子状態（りょうしじょうたい、英: quantum state）とは、量子論で記述される系（量子系）がとる状態のことである。

これは、系の古典的な（巨視的な）状態を指定したとき、物理量、あるいは 可観測量（オブザーバブル）の具体的な測定値が得られる頻度 (測定値の確率分布）によって構成される。

以下に述べるように、量子状態には、純粋状態と混合状態とがある。

定義

量子論では、全く同じように系を準備して、その系について全く同じように物理量（オブザーバブル）を測定しても、測定をするたびに、異なった測定値が得られる。このことは、（原理的には）物理量が定まっているとする古典論とは明らかに異なり、よって古典論のように、物理量の一つの測定値から状態を定義（規定）するということができない。

物理量$A \$の測定を行うことを考える。測定したいある系に対して、それとそっくりな（巨視的に見て区別のつかない）系を数多く用意するなどして、充分多くの回数だけ測定を行うと、ある測定値$a_0 \$が出現する確率がある一定値に収束することが知られている。それをすべての測定値$a_0, a_1,... \$について調べることで、どのように測定値がバラつくかを表す確率分布$P ( a ) \$が得られる。

このことからも分かる通り、実は量子論において定まっているのは、測定によって得られる物理量ではなく、この「物理量がどのようにバラつくかを表す確率分布」なのである。

よって量子論では、量子状態の定義もこの「測定値の確率分布」を使う。量子論における状態とは「各物理量$A,B,...$について、それを測定した時に得る測定値の確率分布$P(a),P(b),...$を与えるもの」を指す。

定式化

上記のような事情から、量子論における「状態」や「物理量」を数式で表現するためには、少し工夫が必要である。

しかし、正しい「物理量の測定値の確率分布${P(a)} \$」が得られるような方法ならば、どんなものであっても構わない。これまで定式化の方法として「演算子形式」や「経路積分形式」などが作られている。これらは見かけ上はずいぶん異なって見えるが、得られる物理量の測定値の確率分布${P(a)} \$は同じなので、どれも等価な理論である。

以下では、その中でも最も一般的な「演算子形式」での定式化の方法について述べる。

なお、演算子形式の量子論では「複素ヒルベルト空間」と呼ばれる抽象的な空間を考えるが、その理由は「そうすればうまく自然を記述できたから」と言うよりほかない。もっと具体的なものを使って、正しい${P(a)} \$を求めることができる方法が存在するかもしれないが、これまでのところ見つかっていない。

純粋状態

純粋状態 とは、標語的に言い表せば、扱う系について原理的に可能な限りの情報が既に得られている場合の状態であり、以下に示す 状態ベクトル によって表現されるものを言う。

純粋状態は、あるヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ の規格化された射線（原点から伸びる、位置ベクトルのようなものを想像していただきたい）$e^{i\theta}|\psi\rangle$で表される。これは、自身との内積$(|\psi\rangle)^\dagger|\psi\rangle=\langle\psi|\psi\rangle$が次の規格化条件、

$\langle\psi|\psi\rangle = 1$

を満たす。

ただし、このベクトルのとり方については、上記の規格化条件さえ満たせばよく、$|\psi\rangle$ と $e^{i\theta}|\psi\rangle$は、したがって一つの同じ純粋状態を表す（「位相」は物理的に意味を持たない）。このような $|\psi\rangle$ を 状態ベクトル と呼ぶ。また特別に、ある物理量が確定値をとる状態を、固有状態といい、このとき状態ベクトルはその物理量（演算子）に対する固有ベクトルになっている。たとえば、状態$|\psi\rangle$がエネルギー固有値$E$のエネルギー固有状態（ハミルトニアン $H$ の固有ベクトル）であったときには、

$H|\psi\rangle=E|\psi\rangle$

と表す。

混合状態

混合状態 とは、すべての物理量$A$について、その測定値（固有値）に対する確率分布$P_\psi ( a )$が、純粋状態$|\psi_1\rangle$, $|\psi_2\rangle$, ..., $|\psi_k\rangle$, ... における物理量$A$の測定値に対する確率分布$P_1 ( a )$, $P_2 ( a )$, ..., $P_k ( a )$, ... に、重み $p_1$, $p_2$, ..., $p_k$, ... をつけて平均したものとして表せるような状態のことである。

$P_\psi ( a ) \ = \sum_k p_k P_k ( a ) \ ( 0 < p_k < 1, \sum_k p_k \, = 1 )$

つまり、混合状態は、純粋状態$|\psi_1\rangle$, $|\psi_2\rangle$, ..., $|\psi_k\rangle$, ... がそれぞれ、確率 $p_1$, $p_2$, ..., $p_k$, ... で古典的に重ね合わさった（混ざり合った）状態を表す。言い替えれば、このとき物理量 $A$ の測定値についての確率分布は、それぞれの純粋状態における確率分布の（重みつきの）重ね合わせで表される。量子論的な状態の重ね合わせでは干渉が起こるため、確率分布自体は重ね合わせでは表されないが（二重スリット実験）、混合状態においては、古典論と同様に、確率分布の重ね合わせが成り立つ（量子的な重ね合わせではない）。

一般に、混合状態は状態ベクトルではなく「密度演算子」$\hat{\rho}$ を用いて表す。

密度演算子

詳細は「密度行列」を参照

混合状態において、k番目の状態が確率（重み）$p_k$で混ざっているとき、

$\hat{\rho} = \sum_k p_k | \psi_k \rangle \langle \psi_k |$

で定義される演算子 $\hat{\rho}$ を 密度演算子 と言う。密度行列 $\mathbf{\rho}$ は、密度演算子を行列表示したものである。

密度演算子 $\hat{\rho}$ は以下の性質を満たす。

• $\hat{\rho}$ はエルミート演算子
• 任意の $|\phi\rangle\in\mathcal{H}$ に対し、$0\leq\langle\phi|\hat{\rho}|\phi\rangle$
  • （ヒルベルト空間上のすべての状態ベクトルについて、それとそれに密度演算子を作用させた状態との内積は負にならない：確率はゼロまたは正）
• $\mathrm{Tr} \{\mathbf{\rho} \} = 1$
  • （密度行列のトレース(対角和)は1になる：全事象の起こる確率は1）
• $\mathrm{Tr} \{\mathbf{\rho}^2\} = \sum_k p_k^2 \leq 1$
  • （密度行列の二乗のトレースは1以下になる。特に、等号が成り立つ場合、純粋状態を表す）

物理量の測定

詳細は「オブザーバブル」を参照

演算子形式では、物理量はエルミート演算子で表される。物理量$A \$の測定値は測定ごとにバラつくが、得られる測定値はエルミート演算子$\hat{A} \$の固有値$a_1, a_2, \cdots \$に限られると仮定する。そして、その確率分布$P(a_n)$ は定まっており、

$P(a) = \left\| |a\rangle\langle a | \psi \rangle \right\|^2=\langle a|\langle\psi|a\rangle\langle a|\psi\rangle|a\rangle=|\langle a|\psi\rangle|^2=|\psi(a)|^2$

によって求められるとする（ボルンの規則）。

参考文献

• 清水明 『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』 サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9。

関連項目

• 量子力学
• ブラ-ケット記法