ボルンの規則

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ボルンの規則(ボルンのきそく)は、量子力学法則で、量子系についてある物理量オブザーバブル)の測定をしたとき、ある値が得られる確率を与える。発見者である物理学者マックス・ボルンにちなんで命名された。

ボルンの規則は、量子力学における物理量の測定で、どのような測定値が得られるかということについての最も基本的な原理である。現在までに量子力学の他の基本要請からボルンの規則を導出しようとする多くの試みが行われているが、成功には至っていない[1]

内容[編集]

離散固有値の場合[編集]

規格化された波動関数(または状態ケット)\scriptstyle|\psi\rangで表される系において、エルミート演算子\hat{A}で表される物理量(オブザーバブル)を測定した場合を考える。ただし\hat{A}離散スペクトル をもち、離散的な固有値を\lambda_i、規格化された固有ベクトルを\scriptstyle|\lambda_i\rangとする。このときボルンの規則は、

  • 測定値は\hat{A}固有値\lambda \ のいずれかに限られる。
  • 測定値\lambda_iが得られる確率は\scriptstyle\lang\psi|\hat{P_i}|\psi\rangに等しい。ここで\hat{P_i}\hat{A}の固有値\lambda_iに属する固有空間への射影。固有値\lambda_iに属する固有空間が1次元で、\scriptstyle|\lambda_i\rangで張られている場合、\hat{P_i}\scriptstyle|\lambda_i\rang\lang\lambda_i|に等しく、よって確率\scriptstyle\lang\psi|P_i|\psi\rang\scriptstyle\lang\psi|\lambda_i\rang\lang\lambda_i|\psi\rangに等しい。複素数\scriptstyle\lang\lambda_i|\psi\rangは状態ベクトル\scriptstyle|\psi\rangが固有ベクトル\scriptstyle|\lambda_i\rangに割り当てられる 確率振幅 と呼ばれ、確率は\scriptstyle|\lang\lambda_i|\psi\rang|^2と記述される。

連続固有値の場合[編集]

\hat{A}の固有値の全体が連続ならば、スペクトル定理よりある射影値測度Q、スペクトル測度Aが存在する。この場合、

  • 可測集合Mでの測定値の確率は\scriptstyle\lang\psi|Q(M)|\psi\rangで与えられる。

もし位置空間の構造を持たない1粒子波動関数\scriptstyle\psiが与えられた場合、時刻t_0で位置を測定したときの確率密度関数p(x,y,z)p(x,y,z)=\scriptstyle|\psi(x,y,z,t_0)|^2.で与えられる。

歴史[編集]

ボルンの規則は1926年のボルンの論文で示された[2]。この論文で、ボルンは散乱問題についてのシュレーディンガー方程式を解き、光電効果についてのアインシュタインの業績からヒントを得て[3]、ボルンの規則が解の解釈として唯一の可能性のあるものであると脚注で結論している。この業績により、ボルンは1954年にヴァルター・ボーテと共にノーベル物理学賞を受賞した[4]ジョン・フォン・ノイマンは1932年に著書の中でスペクトル理論を応用してボルンの規則を議論した[5]。2011年にArmando V.D.B. Assisは論文で、ボルンの規則はゲーム理論的枠組みの中で導出できることを主張した[6]

脚注[編集]

  1. ^ N.P. Landsman, "The conclusion seems to be that no generally accepted derivation of the Born rule has been given to date, but this does not imply that such a derivation is impossible in principle.", in Compendium of Quantum Physics (eds.) F.Weinert, K. Hentschel, D.Greenberger and B. Falkenburg (Springer, 2008), ISBN 3540706224
  2. ^ Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge, Max Born, Zeitschrift für Physik, 37, #12 (Dec. 1926), pp. 863–867 (German); English translation, On the quantum mechanics of collisions, in Quantum theory and measurement, section I.2, J. A. Wheeler and W. H. Zurek, eds., Princeton, NJ: Princeton University Press, 1983, ISBN 0691083169.
  3. ^ [http://nobelprize.org/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf "Again an idea of Einstein’s gave me the lead. He had tried to make the duality of particles - light quanta or photons - and waves comprehensible by interpreting the square of the optical wave amplitudes as probability density for the occurrence of photons. This concept could at once be carried over to the psi-function: |psi|2 ought to represent the probability density for electrons (or other particles)."] from Born's Nobel Lecture on the statistical interpretation of quantum mechanics
  4. ^ Born's Nobel Lecture on the statistical interpretation of quantum mechanics
  5. ^ Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, John von Neumann, Berlin: Springer, 1932 (German); English translation Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, transl. Robert T. Beyer, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1955.
  6. ^ Armando V.D.B. Assis (2011). “Assis, Armando V.D.B. On the nature of \scriptstyle a^{*}_{k}a_{k} and the emergence of the Born rule. Annalen der Physik, 2011.”. Annalen der Physik (Berlin). doi:10.1002/andp.201100062. http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/andp.201100062/abstract. 

外部リンク[編集]