量子論理

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量子論理(りょうしろんり、quantum logic)とは、量子力学における論理を数理論理学として形式化した論理体系を言う。量子論理は、分配律が成り立たない無限多値の論理である[1]ジョン・フォン・ノイマンガーレット・バーコフの1936年の論文[2]に始まり、1960年代に直交モジュラー束の研究と並行して多くの研究成果が出された[3]

概要[編集]

フォン・ノイマンらによれば、量子力学的観測あるいは「波束の収縮」とは、可分複素ヒルベルト空間の線形部分空間への射影である。量子力学的には、物理的な命題は観測に対応し、従って命題は射影と同一視できる。古典物理学では、観測可能な物理量は状態の関数であり、状態により一意的に決まる。しかし量子力学ではそうはならず、物理量(オブザーバブル)は観測を行うことで初めて決定される。特に不確定性原理により同時決定が不可能な物理量もあり、これを論理学的に直接扱うには古典論理以外の論理体系が必要であるとの考えに基づき、量子論理が提唱された。

古典論理が通常の集合代数の成す(集合ブール代数)に従う論理であるのに対して、量子論理はヒルベルト空間の閉部分空間の成す直交モジュラー束に従う論理である。H をヒルベルト空間、L(H)H の閉部分空間全体の集合とする。L(H) に集合の包含関係で順序を入れると、L(H)完備な直交モジュラー束を成す。具体的には共通部分の成す部分線型空間が∧、和集合の張る部分空間閉包が∨、直交補空間が¬に対応する。古典論理と大きく異なるのは分配律、すなわち

p ∧ (qr) = (pq) ∨ (pr)

pqr は命題を表す) が必ずしも成り立たない点である。例えば一直線上を動く粒子を考え、次のようにおく。

p = "粒子は右へ動いている"
q = "粒子は原点の左にある"
r = "粒子は原点の右にある"

すると命題"qr"は恒に真だから、p が真ならば

p ∧ (qr) = 真

一方、p が真ならば不確定性原理により位置運動量は同時には確定できないから、2つの命題"pq"と"pr"はいずれも偽である。ゆえに

(pq) ∨ (pr) = 偽

となって、分配律は成り立たないことになる。

また、古典論理では補元は一意的に定まるが、量子論理では一意的に定まらない。このことを見るために、スピン1/2の粒子を考え、

p = "x 軸方向のスピンは + である"
q = "y 軸方向のスピンは + である"

とすると、

pq = 偽 かつ pq = 真

であるが、q ≠ ¬p である。なぜなら p の否定は

¬p = "x 軸方向のスピンは - である"

であり、q ではないからである。つまり直交していない補元が複数存在するわけである。

脚注[編集]

  1. ^ 前田(1980) p.103
  2. ^ バーコフ、ノイマン(1936)
  3. ^ 前田(1980) p.128

関連項目[編集]

参考文献[編集]

外部リンク[編集]