エーレンフェストの定理

量子力学

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

不確定性原理

紹介 · 数学的基礎

背景 古典力学 前期量子論 基本概念 量子状態 · 波動関数 重ね合わせ · 可観測量 相補性 · 二重性 · 不確定性 トンネル効果 · 排他原理 エーレンフェストの定理 量子もつれ · デコヒーレンス 定式化 シュレーディンガー描像 ハイゼンベルク描像 相互作用描像 波動力学 行列力学 ファインマン経路積分 方程式 シュレーディンガー方程式 ハイゼンベルク方程式 パウリ方程式 クライン＝ゴルドン方程式 ディラック方程式 実験 二重スリット実験 シュテルン＝ゲルラッハの実験 デイヴィソン＝ガーマーの実験 ベル不等式のテスト ポッパーの実験 シュレーディンガーの猫 エリツァー＝ヴァイドマン爆弾テスト 量子消しゴム実験 解釈 観測問題 · ボーム · 意識原因収縮 · 無矛盾歴史 · コペンハーゲン · アンサンブル · 隠れた変数 · 多世界 · 客観的崩壊 · ポンディシェリー · 量子論理 · 関係 · 推計 · 交流 関連項目 散乱理論 相対論的量子力学 場の量子論 量子情報 量子カオス 科学者 ベル • ボーム • ボーア • ボルン • ボース • ド・ブロイ • ディラック • エーレンフェスト • エヴェレット • ファインマン • ハイゼンベルク • ヨルダン • クラマース • フォン・ノイマン • パウリ • プランク • シュレーディンガー • ゾンマーフェルト • ヴィーン • ウィグナー

エーレンフェストの定理（エーレンフェストのていり、英: Ehrenfest's theorem）は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで古典力学における運動方程式（に大変よく似たもの）が得られる』ことを主張している。この定理はオランダの物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。

定理の主張

ポテンシャル$U$の影響下にある質量$m$の粒子Aの状態が、波動関数$\psi(\mathbf r)$であらわされているものとする。この状態にある粒子A（およびそれと同じ状態にある複数の粒子）の位置$\textbf{r}=(x,y,z)$を測定した場合に得られる『観測値の期待値』をそれぞれ$\langle x \rangle$、$\langle y \rangle$、$\langle z \rangle$とする。このとき、

$\begin{align} m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle x \rangle &= -\left\langle\frac{\partial U}{\partial x}\right\rangle \\ m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle y \rangle &= -\left\langle\frac{\partial U}{\partial y}\right\rangle \\ m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle z \rangle &= -\left\langle\frac{\partial U}{\partial z}\right\rangle \end{align}$

が成立する。なお、ここでは波動関数は規格化されているものとする。また、ここで、期待値を導き出す操作$\langle \ \rangle$は、通常量子力学で行われている方法どおりで

$\begin{align}&\langle x \rangle = \int \psi^*(\mathbf r) x \psi(\mathbf r) \mathrm d \mathbf r \\ &\left\langle\frac{\partial U}{\partial x}\right\rangle = \int \psi^*(\mathbf r) \frac{\partial U}{\partial x} \psi(\mathbf r) \mathrm d \mathbf r \end{align}$

とする。他も同様である。

証明

まず、期待値の定義より

$\begin{align}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle \mathbf r \rangle &= \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\int \psi^*(\mathbf r,t) \mathbf r \psi(\mathbf r,t) \mathrm d \mathbf r \\ &= \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r \end{align}$

を得る。ここでシュレーディンガー方程式より

$\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r &= \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[-\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*)\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right]\mathrm d \mathbf r \\ &= \frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\int\left[-\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^*\mathbf r \psi + \psi^* \mathbf r \left\{\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right]\mathrm d \mathbf r \\ &= \frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r \\ &= -\frac{i\hbar}{2m}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r \end{align}$

部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると

$\begin{align} \int\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi\ \mathrm d \mathbf r &= [\nabla\psi^*\mathbf r \psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla\psi^* \nabla(\mathbf r \psi)\mathrm d \mathbf r \\ &= -[\psi^*\nabla(\mathbf r \psi)]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^*\nabla^2(\mathbf r \psi) \mathrm d \mathbf r \\ &= \int \psi^*\nabla(\nabla \mathbf r \psi + \mathbf r \nabla \psi) \mathrm d \mathbf r \\ &= \int \left[ \psi^*\nabla \psi + \psi^* \nabla( \mathbf r \nabla \psi) \right] \mathrm d \mathbf r \\ &= \int \left[ 2\psi^*\nabla \psi + \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi \right] \mathrm d \mathbf r \end{align}$

これらを用いると

$m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int \psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r=-i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r$

再度シュレーディンガー方程式を用いて

$\begin{align} -i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r &= -i\hbar\int \left[ -\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*) \nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right] \mathrm d \mathbf r \\ &= \int \left[ \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^* \nabla \psi - \psi^*\nabla \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right] \mathrm d \mathbf r \\ &= -\frac{\hbar^2}{2m}\int \left [ \nabla^2\psi^*\nabla\psi-\psi^*\nabla^3\psi \right ] \mathrm d \mathbf r + \int \left[ U(\mathbf r) \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U(\mathbf r) \psi)\right]\mathrm d \mathbf r \end{align}$

また部分積分を使うと、

$\begin{align}\int \nabla^2\psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r &= [\nabla\psi^*\nabla\psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla \psi^* \nabla^2 \psi \mathrm d \mathbf r \\ &= - [\psi^* \nabla^2 \psi]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r \\ &= \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r \end{align}$

加えて

$\begin{align} U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U \psi) &= U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla U \psi - U \psi^* \nabla \psi \\ &= -\psi^*\nabla U \psi \end{align}$

を用いると、

$m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\int \psi^* \nabla U \psi \mathrm d \mathbf r$

を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法から$\nabla U$の期待値であるから、

$m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\langle \nabla U \rangle$

となる。

この節は執筆中です。加筆、訂正して下さる協力者を求めています。

関連項目

• 古典物理学