密度行列

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密度行列(みつどぎょうれつ、英語: density matrix)は、量子力学における混合状態を表現するために使われる行列である。

定義[編集]

ある(ここでは時間依存は考えない)の状態が、1〉, |Ψ2〉, ..., |Ψk〉, ... という状態ベクトルが古典的に混ざったものとして記述できるとする。つまり、ある系のどんなオブザーバブルの測定値の確率分布も、1〉, |Ψ2〉, ..., |Ψk〉, ... での測定値の確率分布に重みをつけて平均したものとして表せるとする。

k 番目の状態が重み pk で混合されているとき、

 \hat{\rho} = \sum_k p_k  | \Psi_k \rangle \langle \Psi_k | \quad(0 < p_k < 1, \quad \sum_k p_k \, = 1)

で定義される演算子 \hat{\rho}密度演算子 (density operator ) と言う。密度行列 (density matrix ) \rho は、密度演算子を行列表示したものである。

ここで、k は互いに直交している必要はない。たとえば、スピンz 成分の +1固有状態と、y 成分の −1 の固有状態を混ぜることも可能である。

このような複数の状態が混ざってできた状態を混合状態 (mixed state ) といい、そうでない状態を純粋状態 (pure state ) という。

性質[編集]

一般に密度演算子 \hat{\rho}エルミート演算子で、ヒルベルト空間上の任意の状態ベクトル |\phi\rangle\in\mathcal{H} に対し、

0\leq\langle\phi|\hat{\rho}|\phi\rangle,

\operatorname{Tr} \{\mathbf{\rho} \} = 1,

を満たす。ここで Tr{ρ} は密度行列 ρトレース (trace) である。

一般には、密度演算子の二乗は、

 \begin{alignat}{4} 
\rho^2 \, & =  
\bigl\{ \sum_k p_k | \Psi_k \rangle \langle \Psi_k | \bigr\} 
\bigl\{ \sum_{k'} p_{k'} | \Psi_{k'} \rangle \langle \Psi_{k'} | \bigr\} \\
 & =  \sum_{k} \sum_{k'} p_k p_{k'} | \Psi_k \rangle \langle \Psi_k | \Psi_{k'} \rangle \langle \Psi_{k'} | \\
 & =  \sum_k p_k^2 | \Psi_k \rangle \langle \Psi_k | \\ 
 & \ne \rho  
\end{alignat}

となる。ここで、簡単のために状態 k と状態 k' は規格直交性 〈Ψkk'〉 = δk,k' を持つとした(密度行列を対角化することで、このような表示は常に可能である)。

特別な場合として、複数の状態が混ざっていない純粋状態 |Ψ〉 に対する密度行列 ρ = |Ψ〉〈Ψ| では、状態ベクトルの規格化条件 〈Ψ|Ψ〉 = 1 より、

 \rho^2 = | \Psi \rangle \langle \Psi | \Psi \rangle \langle \Psi | = | \Psi \rangle \langle \Psi | = \rho

となる。よって、純粋状態の場合は ρn = ρn は正の整数)であることが分かる。また、純粋状態に対する密度行列は射影演算子の形となっている。

物理量の期待値[編集]

量子力学において、純粋状態 k におけるオブザーバブル \hat{A}期待値は、

\langle \Psi_k | \hat{A} | \Psi_k \rangle

となる。この純粋状態が混ざってできた混合状態の期待値  \left\langle A \right\rangle は、重み pk を使って、

 \left\langle A \right\rangle 
= \sum_k p_k \langle \Psi_k | \hat{A} | \Psi_k \rangle 
= \operatorname{Tr} \{\rho A\}

つまり密度行列 ρ と、オブザーバブル \hat{A} の行列表示 A との積の、トレースで表される。

時間発展[編集]

密度演算子の時間発展は、次のフォン・ノイマン方程式 (von Neumann equation ) で記述される。フォン・ノイマン方程式は古典論におけるリウヴィル方程式 (Liouville equation ) に対応するので、リウヴィル=フォン・ノイマン方程式 (Liuville–von Neumann equation)、あるいは単に(量子)リウヴィル方程式とも呼ばれる。

 i \hbar {\partial \hat{\rho} \over {\partial t}} = [\hat{H}, \hat{\rho}] = \hat{H} \hat{\rho} - \hat{\rho} \hat{H}.

ここで ħ = h/2π換算プランク定数hプランク定数)、\hat{H}ハミルトニアン、括弧 [·,·]交換子である。

フォン・ノイマンの式は、純粋状態(状態ベクトル)の時間発展を記述するシュレーディンガー方程式

\begin{align}
i \hbar {\partial |\Psi_k \rangle \over {\partial t}} &= \hat{H} | \Psi_k \rangle,\\
- i \hbar {\partial \langle \Psi_k| \over {\partial t}} &= \langle \Psi_k | \hat{H},
\end{align}

密度演算子の定義式だけを用いて導出できる。ここでブラ・ベクトル 〈Ψ| はケット・ベクトル |Ψ〉双対であること 〈Ψ| := |Ψ〉 に注意。

統計力学への応用[編集]

統計力学においては、状態のアンサンブルを混合状態と考えることができる。量子統計力学では、エネルギー固有状態を用いて密度行列を表現すると便利である。

密度行列 ρ は、たとえばカノニカル分布では、

 \mathbf{\rho} 
= \frac{\mathrm{e}^{-\beta H}}{\operatorname{Tr} (\mathrm{e}^{-\beta H}) }

グランドカノニカル分布では、

 \rho 
= \frac{\mathrm{e}^{-\beta H_\mathrm{G}}}{\operatorname{Tr} (\mathrm{e}^{-\beta H_\mathrm{G}}) } 
= \mathrm{e}^{\beta(\Omega - H_\mathrm{G})}

で表される。ここで β = 1/kBT逆温度kBボルツマン定数ΩグランドポテンシャルHG はグランドカノニカル分布でのハミルトニアンである。

このときオブザーバブルの期待値 A は、

\langle A \rangle 
= \operatorname{Tr}\{\rho A\} 
= \frac{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}A\}}{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}\}}

と書くことができる。特に A恒等演算子 A = Id の場合、

\langle \operatorname{Id} \rangle 
= \frac{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}\operatorname{Id}\}}{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}\}}
= \frac{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}\}}{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}\}}
= 1

を満たす。また、A がハミルトニアン A = H の場合、ハミルトニアンの固有値を {Ei} とすれば、

\langle H \rangle 
= \frac{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}H\}}{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}\}}
= \frac{\sum_i E_i\mathrm{e}^{-\beta E_i}}{\sum_i \mathrm{e}^{-\beta E_i}}

と書き換えられる。

関連記事[編集]