双対ベクトル空間

数学において、ベクトル空間の双対ベクトル空間（そうついベクトルくうかん、英: dual vector space）とは、ベクトル空間上の線型形式全体の成すベクトル空間のことである。単に双対空間（英: dual space）と呼ぶこともある。

考えるベクトル空間が無限次元の場合には、単に一次形式全体を考えるのではうまく行かない場合が多いため、もう少し条件を制限する場合がある。

定義

V を体 K 上のベクトル空間とする。このとき、V から K への線形写像全体の成す集合 Hom_K(V, K) は演算

f + g: V → K; x → f(x) + g(x),

cf: V → K; x → c f(x)

(f, g ∈ Hom_K(V, K), c ∈ K) により K 上のベクトル空間をなす。このベクトル空間 Hom_K(V, K) を V の双対ベクトル空間あるいはベクトル空間 V の代数的双対 (algebraic dual) と呼び、V^* などと表す。V^* の元は V 上の線型形式（一次形式、linear form）と呼ばれる。

派生概念

双対基底

有限次元ベクトル空間 V の基底が 　{e₁, e₂, ..., e_n} で与えられているとき、

$f_j(e_i) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & (i = j) \\ 0 & (i\ne j) \end{cases}$

（δ はクロネッカーのデルタ）で与えられる一次形式 f_j を考えると {f₁, f₂, ..., f_n} は V^* の基底となる。これをもとの基底の双対基底という。

V が無限次元のときは、 {e_λ}_λ∈Λ で基底が与えられているとして、有限次元の場合と同様に

$f_\mu(e_\lambda) = \delta_{\mu\lambda}$

とおいて得られる {f_μ}_μ∈Λ は一次独立性をもつが、基底となるとは限らない（位相的な条件を入れて、完全性 (completeness) のチェックをすることが必要である）。

転置写像

V, W を体 K 上のベクトル空間とし、f: V → W を K-線型写像とする。このとき、ξ ∈ W^* に対し、

f^*(ξ): V → K; x → ξ(f(x))

とおくことにより、f は双対ベクトル空間の間の K-線型写像

f^*: W^* → V^*; ξ → f^*(ξ)

を引き起こす。この f^* を f の転置写像あるいは双対写像、反傾写像などという。

双対性

この V^* に対して再び K への線形写像の全体をとって V^** を作ると、V が有限次元のときには V^** は次のようにして自然 (canonical) に V と同一視することができる。

実際、次のようになる。任意の V の元 x をとったとする。V^* の元 f に対して f(x) を対応させる写像 x^**: V^* → K は線形写像であるから x^** ∈ V^** となる。ここで、x を今構成した x^** に対応させる写像を考えると、V の基底 {e₁, e₂, ..., e_n} の像 {e₁^**, e₂^**, ..., e_n^**} はちょうど基底 {e₁, e₂, ..., e_n} の双対基底の双対基底となるから、V^** の基底になる。

この同型は V の基底の取り方によらず、元そのものの対応によって決まる（このことを指して同型が自然 であるという）ので、x ∈ V と x^** ∈ V^** とを同一視することができる。V が無限次元なら、V と V^** は同型になるとは限らないが、少なくとも V は V^** に埋め込まれる。

これは、ベクトル空間 V に双対空間の双対空間 V^** を対応させる K 上の有限次元ベクトル空間の成す圏 Vect_K からそれ自身への関手は Vect_K 上の恒等関手と自然同値であるということである。

双対性を表す内積

双対性により、V のベクトル x と V 上の一次形式 f について、f(x) と x^**(f) とを区別して考える必要がなくなり、これは係数体 K 上の非退化な双線型形式をあたえる。それを内積の記号を流用して

$\langle f,x\rangle = \langle x,f\rangle$

の形に明示的に表すことがある。この双線型形式を V と V^* の双対性を表す内積という。

性質

K 上の 2 つの有限次元ベクトル空間 V, W に対し、V から W への K-線形写像全体の成すベクトル空間を Hom_K(V, W) とあらわすと、自然な同型

${\rm Hom}_K(V,W) \simeq V^* \otimes W$

が成立する。ただし右辺は、V^* と W とのテンソル積である。

一般化

ベクトル空間の一般化である環上の加群に対しても、同様にその双対加群を定義することができる。環 R において積が可換でないとき、双対加群においては R 作用の左右が逆転する。特に、左 R-加群の準同型の転置写像は右 R-加群の準同型となり、右 R-加群の準同型の転置写像は左 R-加群の準同型となる。すなわち、双対加群をとる操作は、左 R-加群の成す圏 R-Mod と右 R-加群の成す圏 R^op-Mod との間の反変関手になっている。

関連項目

• ベクトル空間