選択公理

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選択公理(せんたくこうり、: axiom of choice選出公理ともいう)とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合(すなわち、集合の集合)があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]

定義[編集]

空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素(それ自体が集合である)から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる。これは次の命題と同値である:

{Aλ}λΛ をどれも空集合でないような集合の族とすると、それらの直積
\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda
も空集合ではない。

選択公理を用いて証明する(かつ、用いなければ証明できないだろう)命題の例[編集]

  • 全ての無限集合は、可算無限集合を部分集合として含む。
  • 全ての体には代数的閉包が存在する。

等々。

選択公理と等価な命題[編集]

以下のものは全て、特に選択公理と同値である。つまり、以下のもののいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、選択公理を仮定すると以下のものが全て証明できる。

整列可能定理
任意の集合は整列可能である。
ツォルンの補題
順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。(実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。)
比較可能定理
任意の集合の濃度は比較可能である。
直積定理
無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない。
右逆元の存在
上への写像は右逆元を有する。
ケーニッヒ(Julius König )の定理
濃度の小さい集合の直和より、濃度の大きい集合の直積のほうが濃度が大きい。
ベクトル空間における基底の存在
全てのベクトル空間は基底を持つ(1984年にAndreas Blassによって選択公理と同値であることが証明された。ただし、正則性の公理が必要になる)。
チコノフの定理
コンパクト空間の任意個の積空間はコンパクトになる。

応用[編集]

選択公理もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。

歴史[編集]

集合論の創始者ゲオルグ・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた。 実際、有限個の集合からなる集合族であれば、そのそれぞれの集合の中から順に1つずつ元を選び出し、それらを併せて集合とすればよいのであるから、このような操作ができることは自明である。

しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、ボレルベイルルベーグラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理であることが認識されるようになった。確かに、無限個の集合からなる集合族の場合、上のような操作を想定しても「順に選び出す」操作は有限回で終了することはないのだから、このような操作を行えるかどうかは必ずしも明らかではない。

選択公理は、それ自身もまたその否定もほかの公理からは証明できないものであること、すなわち独立であることが示された(クルト・ゲーデルポール・コーエン)が、これは公理的集合論における大きな成果であろう。但し、ZF(ツェルメロ=フレンケルの公理系)に一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できる[2]。従って、一般連続体仮説と選択公理は何れもZFとは独立だが、前者の方がより強い主張であると言える。ZFに選択公理を加えた公理系をZFCと呼ぶ。

バナッハ=タルスキーのパラドックスと選択公理[編集]

選択公理は一見非常に当たり前のことを言っているように見えるし、対象が無限集合であっても「どれかひとつを選んで取り出すことができる」という主張は直感にも反さない。しかし、無限集合の場合は自明ではないのではないかという主張もある。

特に、バナッハ=タルスキーのパラドックスが、日常の言葉を使って「有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができる」と説明されることから、バナッハ=タルスキーのパラドックスのために、選択公理は奇怪で非直観的な結果を与えるものだと、数学を専門としない者には解釈されることが多い。 なお、バナッハとタルスキが、選択公理が正しくないことを示すため、定理を証明したと断定するのは早計である。(バナッハとタルスキは、論文の冒頭で、「証明のなかに、この公理(選択公理)が果たす役割は、注目するに値する」と述べているだけである)

代わりとなる公理[編集]

選択公理とは矛盾するが、ZFCから選択公理を除いたZFとは矛盾しないような命題は数多く発見されている。たとえばソロヴェイは強制法を用いて実数の集合が全てルベーグ可測であるようなZFのモデルを構成した。

1964年にミシェルスキが導入した決定性公理もその一つである。これはその後、整合性証明のために頻繁に用いられている。ZFに決定性公理を付け加えた公理系の整合性と、ZFに選択公理と巨大基数の一種であるウッディン基数の存在を公理として付け加えた公理系の整合性が同値となるというウッディンの定理は、互いに矛盾する公理を関係づける非常に重要なものである。

可算選択公理[編集]

選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理(: countable axiom of choice)というものも考えられている[3]。これは選択公理の成立する集合を可算濃度以下に限定したものである[3]この公理を採用すると、「選択公理を用いると証明できるが、感覚的に奇妙である」とされるパラドキシカル(: paradoxical)な定理の多数(全てではない)は証明されない。[要出典]

脚注[編集]

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  1. ^ Zermelo, Ernst (1904). "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann". Mathematische Annalen 59: 514-16.
  2. ^ 1926年にリンデンバウム(A. Lindenbaum)とタルスキが示したが、証明は散逸した。同内容を1943年シェルピニスキが再発見し1947年に出版した。
  3. ^ a b 田中(1987)、36頁。

参考文献[編集]

関連文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]