ラッセルのパラドックス

ラッセルのパラドックス（英語：Russell's paradox）とは、素朴集合論において矛盾を導くパラドックスである。バートランド・ラッセルからゴットロープ・フレーゲへの1902年6月16日付けの書簡における、フレーゲの『算術の基本法則』における矛盾を指摘する記述に表れる。これは1903年に出版されたフレーゲの『算術の基本法則』第II巻（Grundgesetze der Arithmetik II）の後書きに収録されている。

ラッセルが型理論（階型理論）を生み出した目的にはこの種のパラドックスを解消するということも含まれていた。

概要

説明の便宜上、自分自身をその要素として含まないという性質をもつ集合を A 集合、含む集合を B 集合と呼ぶことにする。つまり、「集合 X が A 集合である」とは

集合 X は、 $X \in X$ という性質を満たさない

つまり、集合 X は、 $X \notin X$ という性質を満たす

ということであり、「集合 Y が B 集合である」とは

集合 Y は、 $Y \in Y$ という性質を満たす

ということである。 排中律を認めて背理法による議論を可能にした通常の論理体系では、任意の集合は A 集合であるか B 集合であるかのどちらかである。

「自分自身をその要素として含まないという性質をもつ集合」とは具体例を挙げると、「亀の集合」や「丸いものの集合」や「赤いものの集合」のような、集合それ自体が亀や丸いあるいは赤いものでない集合のことである。

また、「自分自身をその要素として含むという性質をもつ集合」とは、「不可視なものの集合」や「無生物の集合」、「赤くないものの集合」、「集合の集合」のような、集合それ自体が自身の要素の条件としてあげる条件に合致する集合のことである。

ここで、自分自身をその要素として含まないという性質をもつ集合全体(A 集合であるような集合全体)を $S$ とする。つまり、

$S = \{ X \mid X \notin X \}$

という集合を考える。 $S$ も集合である以上、A 集合であるか B 集合であるかのいずれかであるように思える。つまり、

1. $S \in S$でない、つまり、$S \notin S$であるか
2. $S \in S$であるか

のうち、片方が必ず成り立つ。 そのどちらを仮定しても以下のようにして矛盾が生じる。これをラッセルのパラドックスと呼ぶ。

1. $S$ が A 集合であるとする。つまり、$S \notin S$である場合を考える。$S$の定義は$S = \{ X \mid X \notin X \}$であることから、$S \notin S$という性質をもつ集合はSの元なので、$S \in S$であることが言える。したがって、$S \notin S \wedge S \in S$であるから矛盾である。
2. $S$ が B 集合であるとする。つまり、$S \in S$である場合を考える。$S$の定義は$S = \{ X \mid X \notin X \}$であることから、$S \in S$である(SはSの元である)から、$S \notin S$であることが言える。したがって、$S \in S \wedge S \notin S$であるから矛盾である。

以上の議論を多少修正すれば、背理法無しでもパラドックスは生ずる。実際、次のようにして、背理法無しで矛盾を証明できる。

1. $S\in S$ と仮定すると、$S$ の定義より $S\notin S$ であるから矛盾である。したがって、仮定無しで $S\notin S$ である。
2. ところが $S$ の定義より $S\in S$ である。したがってやはり矛盾である。

したがって古典論理から直観主義論理に変更しても、ラッセルのパラドックスは回避できない。一方で、BCK論理のような弱い論理の上では、無制限な内包公理を認めた素朴集合論が矛盾無く展開できることが知られている。

公理的集合論との関係

ラッセルの時代には何をもって集合と呼ぶかがはっきりしていなかったので、上記の議論は集合論の矛盾を指摘するかに見えた。しかし公理的集合論によって何をもって集合とするかについての形式的な整備が進むとともに、上記の議論のはじめに考えたような素朴（だが超越的）な$S$ の構成法は集合についての定義としては許容されないような体系が構築された。

結論からいうと、ラッセル自身の指摘は「前述のようなSを考えると矛盾が起こり、集合論は矛盾を含む」というものであったが、公理的集合論ではこれを「前述のようなSを考えると矛盾が起こる。従ってSは集合ではない」と解釈する。

集合論の代表的な公理系である ZFC では、$S$ のような「集合もどき」ではない「まっとうな集合」を作成するために構成的な手法を与えている。すなわち基礎となる集合（空集合）に、「与えられた2つの集合を元とする集合」操作や合併・共通分操作、冪集合といった構成を有限回施してできるものはまっとうな集合として認められる。

しかしここで、「これらの構成的集合以外は集合ではない」とまでは集合の範疇がされていないことに注意しなければならない。このような構成可能性に関する要請のもとでは一般連続体仮説が導かれることがクルト・ゲーデルによって示された。

内包公理「$\phi(x)$ が成り立つ $x$ 全体の集合が存在する」を、どんな条件 $\phi(x)$ に対しても無制限に認めると、上記の集合 $S$ の存在も証明され矛盾する。そのため、公理的集合論では、無制限な内包公理よりも弱い形の集合の存在公理が採用されている。

ZFC では、上記の集合 $S$ が存在しないことから、全ての集合の集合が存在しないことを導くことができる。なぜならば、仮に全ての集合の集合が存在すれば、分出公理を適用することで、上記の集合 $S$ の存在が導かれるからである。

歴史

起源

通説では1902年6月16日のラッセルのフレーゲ宛て書簡が「ラッセルのパラドックス」の起源とされている。しかし、1899年から1900年頃にエルンスト・ツェルメロが独立に同じパラドックスを発見し、ダフィット・ヒルベルトやエドムント・フッサールに知らせていた。そのため、厳密には「ツェルメロ=ラッセルのパラドックス」と呼ぶべきである。

年表

• 1879年：フレーゲ『概念記法』出版。
• 1884年：フレーゲ『算術の基礎』出版。
• 1888年：デーデキント『数とは何か、何であるべきか』出版。自然数論の始まり。
• 1893年：フレーゲ『算術の基本法則』出版。
• 1902年6月16日：ラッセルからフレーゲ宛てにパラドックスを知らせる書簡が投函。
• 1902年6月22日：フレーゲからラッセル宛てに返信が投函。
• 1903年：フレーゲ『算術の基本法則』第II巻出版。後書きでラッセルのパラドックスを公開。
• 1903年：ラッセル The Principles of Mathematics 出版。型理論の始まり。
• 1903年11月7日：ヒルベルトからフレーゲ宛に返信が投函。ラッセルのパラドックスが3～4年前にツェルメロによって発見されていたことを記載。
• 1908年：ツェルメロ「集合論の基礎に関する研究」発表。公理的集合論の始まり。

参考文献

• ゴットロープ・フレーゲ 『フレーゲ著作集3　算術の基本法則』 野本和幸編、勁草書房、2000年9月。ISBN 4-326-14822-5。
• ゴットロープ・フレーゲ 『フレーゲ著作集6　書簡集　付「日記」』 野本和幸編、勁草書房、2002年5月。ISBN 4-326-14825-X。
• 高木貞治「数理が躓く（？）」、『近世数学史談・数学雑談』 共立出版、1996年12月、合本・復刻版、pp. 188-233。ISBN 4-320-01551-7。
• 三浦俊彦 『ラッセルのパラドクス　――世界を読み換える哲学――』 岩波書店〈岩波新書〉、2005年10月。ISBN 4-00-430975-1。
• Russell, B. (1903). The Principles of Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. 

関連項目

• 型理論
• 集合論
• 公理的集合論
• パラドックス
• バートランド・ラッセル
• ゴットロープ・フレーゲ
• エルンスト・ツェルメロ
• ダフィット・ヒルベルト
• エドムント・フッサール
• 矛盾許容論理
• カリーのパラドックス
• モーダストレンス
• 床屋のパラドックス、ラッセルのパラドックスを分かり易くした例
• 市長のパラドックス
• グロタンディーク宇宙、普遍集合の存在を仮定することでパラドックスの回避が可能
• エピメニデスのパラドックス

外部リンク

• 「Russell's Paradox」 - インターネット哲学百科事典にある「ラッセルのパラドックス」についての項目。（英語）
• 「Russell's Paradox」 - スタンフォード哲学百科事典にある「ラッセルのパラドックス」についての項目。（英語）
• Russell's Antinomy - Webサイト MathWorld にある「ラッセルの二律背反」についての項目（英語）