モーダストレンス

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モーダストレンス: Modus tollens, MT)は、間接証明(indirect proof)や対偶による証明(proof by contradiction)の正式な名称である。ラテン語で「否定によって肯定する様式」の意。後件否定(denying the consequent)とも呼ぶが妥当論証形式であり、似たような名称の妥当でない論証形式(後件肯定前件否定)とは異なる。

モーダストレンスは次のような形式である。

P ならば Q である。
Q は偽である。
従って、P は偽である。[1]

解説[編集]

この論証には2つの前提条件がある。第一の前提は「P ならば Q」という形式の文であり、含意を表している。第二の前提は、Q が偽であることを主張している。これら2つの前提から、論理的に P が偽でなければならないことを結論として導いている。

例えば、次のような例がある。

ここに火があるなら、ここには酸素がある。
ここには酸素がない。
従って、ここには火がない。

別の例を挙げる。

リジーが殺人者なら、彼女は斧を持っている。
リジーは斧を持っていない。
従って、リジーは殺人者ではない。

これらの前提がどちらも真であるとする。リジー・ボーデンが殺人者なら、彼女は斧を持っていたに違いない。そして、実際にはリジーは斧を持っていなかった。結果として、彼女は殺人者ではないということになった。論証が妥当で、前提が真なら、結論も真となる。

もっとも、殺人者が常に斧を所有しているとは限らないのも自明である。例えば、斧を借りることもできる(従って、リジーは斧を所有していなくとも殺人者の可能性がある)。この場合、最初の前提が偽であることを意味する。論証が妥当であっても、前提が偽なら結論も偽となる。

モーダストレンスは、カール・ポパー反証可能性について論じる際に使われ、有名になった。

モーダスポネンスとの関係[編集]

モーダストレンスは、条件文型の前提に対して対偶をとることでモーダスポネンスに変換可能である。例えば、次のようになる。

P ならば Q である(前提 -- 実質含意)
Q でないならば P でない(その対偶)
Q でない(前提)
従って、P でない(モーダスポネンスによる帰結)

同様に、モーダスポネンスを対偶を使ってモーダストレンスに変換可能である。

形式的記法[編集]

論理演算の記法では、次のようになる。

((P\to Q) \and \neg Q) \vdash \neg P

ここで \vdash論理的帰結を表す。

集合論の形式では次のようになる。

P\subseteq Q
x\notin Q
\therefore x\notin P

(P は Q の部分集合である。x は Q に属さない。従って、x は P に属さない)

自然演繹の記法では次のようになる。

\frac{\vdash P\to Q ~~~ \vdash\neg Q}{\vdash \neg P}

また、次のような形式もある。

もし P なら Q である。
Q でない。
従って、P でない。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ [1] University of North Carolina, Philosophy Department, Logic Glossary.

外部リンク[編集]