和集合

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数学において、集合族の和集合(わしゅうごう)、あるいは演算的に集合の(わ、 sum)、合併(がっぺい、union)もしくは結び(むすび、join)とは、ふたつ以上の集合の集まり(集合族)に対して、それらのいずれか少なくとも一つに含まれているような要素を全て集めることにより得られる集合のことである。

定義[編集]

和集合のベン図による視覚化

集合 A と集合 B が与えられたとき、集合 AB を、A, B いずれかの集合の少なくとも一方に含まれる元 x の全体 (xABxA または xB) として定めて、あるいは同じことだが

A \cup B := \{x \mid x \in A \mbox{ or } x \in B\}

として定義される集合を、集合 A, B和集合と呼ぶ。また特に、AB交わりを持たないときの和集合 ABAB の(集合論的)直和(ちょくわ、[set theoric] direct sum)あるいは非交和(ひこうわ、disjoint union)と呼び、"AB (disjoint)" や、明示的に記号を違えて

A \sqcup B

などと記すこともある。また、集合の族

\mathfrak{M} = \{ M_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}

に対して、集合族に属するいずれかの集合に属する元

x \in M_\lambda \mbox{ for some } \lambda \in \Lambda

の全体として集合族の和

\bigcup \mathfrak{M} = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} M_{\lambda}

を定義する。有限個の元からなる集合族 A1, A2, ..., Ak の和集合は

A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k, \quad \bigcup_{n=1}^k A_n

などとも表す。可算無限個の集合の和についても

A_1 \cup A_2 \cup \cdots, \quad \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n

などのように表すことがある。また、集合族に属する集合からどの異なる二つを選んでもそれらが交わりを持たないとき、つまり

M, N \in \mathfrak{M},\ M \ne N \Rightarrow M \cap N = \emptyset

となるとき、その集合族の和集合は直和、あるいは非交和であるといい、


  \coprod \mathfrak{M}, \quad \bigsqcup\, \mathfrak{M}, \quad 
  \sum \mathfrak{M}, \quad \sum{}^{\cup}\, \mathfrak{M}

などの記号を用いることがある。

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P = {1, 3, 5, 7, 9} (10 以下の奇数の集合)、Q = {2, 3, 5, 7} (10 以下の素数の集合)とすると、PQ = {1, 2, 3, 5, 7, 9} である。

実数からなる半開区間の族 M = {(0, 1 − 1/n] | n は 0 でない自然数} とすると集合族 M の和集合は開区間 (0, 1) である:


  \bigcup \mathbf{M} = 
  \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(0,\,1-\frac{1}{n}\right] 
  = (0, 1).

実際、0 < x < 1 なる x に対して、x = 1 − ε となるような正の実数 ε が存在するが、ここで 1 / ε < n となる自然数 n は必ず存在して、この n に対して x は半開区間 (0, 1 − 1 / n] に属する。一方、1 ≤ x となる xM のどの半開区間にも属さないので、和集合にも属さない。

実数の全区間(数直線R = (−∞, ∞) は長さが 1 の半開区間の族 {(m, m + 1] | m整数} の直和に分割できる。つまり

\mathbb{R} = \coprod_{m=-\infty}^{\infty} (m, m+1]

が成り立つ。

一般に和集合には以下の恒等式が存在する。A,B,C を任意の集合とする。

A \cup B = B \cup A

これは任意の実数a,b,c としたとき

a + b = b + a \,

に対応し、交換法則に相当する。

(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)

これは

(a + b) + c = a + (b + c) \,

に対応し、和の結合法則に相当する。

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

これは

a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \,

に対応し、分配法則に相当する。

A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)

これは集合の演算に成り立ち、数の演算とは異なっている。

A \cup \varnothing = A

ここで  \varnothing \,空集合を表す。これは

 a + 0 = a \,

に対応し、 \varnothing \, は集合の加法の単位元に相当する。

A \cup A = A

これは冪等演算であり、数の演算とは異なる。

関連項目[編集]