フォン・ノイマン宇宙

数学の集合論とその周辺分野において、 フォン・ノイマン宇宙 Vとは、 遺伝的 整礎集合全体のクラスである。 この集まりは、ZFCによって定義され、 ZFCの公理のinterpretationやmotivationを与えるためにしばしば用いられる。

整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい 最小の順序数として帰納的に定義される。 特に、空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。 Vの集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、 その階層は累積的階層と呼ばれる。

定義

この累積的階層は順序数のクラスによって添え字付けられた集合V_αの 集まりであり、 特に、V_αは階数α未満の集合全てによる集合である。 なので各順序数 α に対して集合V_αが超限帰納法によって 以下のように定義できる:

• V₀は空集合, {}とする。
• 各順序数 βに対して、V_β+1はV_βの冪集合とする。
• 各極限順序数 λに対して、V_λは、次の和集合とする:

  $V_\lambda := \bigcup_{\beta < \lambda} V_\beta .$

この定義で重要なのは、ZFCのある式φ(α,x)で "集合xはV_αに属する" ことを定義できることである。

クラスVは全てのV-階層の和、すなわち:

$V := \bigcup_{\alpha} V_\alpha.$

と定義される。

同じ定義だが、各αの階層を

$V_\alpha := \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P} (V_\beta)$

と定義できる、ここで$\mathcal{P} (X) \!$はXの冪集合のことである。

集合Sの階数は$S \subseteq V_\alpha \,.$となる最小のαとも言える。

Vと集合論

ω を自然数全体の集合とすると、 V_ωは遺伝的有限集合全体の集合であり、 無限公理の成り立たない集合論モデルである。

V_ω+ωは"ordinary mathematics"の宇宙であり、 ツェルメロの集合論のモデルである。

κ が到達不能基数ならば、V_κはZFCのモデルである。

そして、V_κ+1はモース-ケリー集合論のモデルである。

V は二つの理由によって、"全ての集合による集合"とは異なるものである。

第一に、これは集合ではない; 各階層V_αがそれぞれ集合でも、 その和であるVは真クラスである。

第二に、Vの要素は全て整礎集合に限られている。 基礎の公理(正則性の公理)は全ての集合が整礎的であることを要求していて、 だからZFCでは全ての集合がVに属する。 しかし、基礎の公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である、

(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。 このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。

関連項目

• 宇宙 (数学)
• 構成可能集合
• グロタンディーク宇宙
• 到達不能基数
• S (Boolos 1989)
• ジョン・フォン・ノイマン

参考文献

• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.