フォン・ノイマン宇宙

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数学集合論とその周辺分野において、フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。

整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される。 [1] 特に、空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。Vの集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。

定義[編集]

この累積的階層は順序数のクラスによって添え字付けられた集合Vαの集まりであり、特に、Vαは階数α未満の集合全てによる集合である。ゆえに各順序数 α に対して集合Vα超限帰納法によって以下のように定義できる:

この定義で重要なのは、ZFCのある式φ(α,x)で "集合xVαに属する" ことを定義できることである。

クラスVは全てのV-階層の和、すなわち:

 V := \bigcup_{\alpha} V_\alpha

と定義される。

同じ定義だが、各αの階層を

V_\alpha := \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P} (V_\beta)

と定義できる、ここで\mathcal{P} (X) \!はXの冪集合のことである。

集合Sの階数はS \subseteq V_\alphaとなる最小のαとも言える。

Vと集合論[編集]

ω を自然数全体の集合とすると、Vω遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理の成り立たない集合論モデルである。Vω+ωordinary mathematics宇宙であり、ツェルメロの集合論のモデルである。

κ が到達不能基数ならば、VκZFCのモデルである。そして、Vκ+1モース-ケリー集合論のモデルである。

V は二つの理由によって、"全ての集合による集合"とは異なるものである。第一に、これは集合ではない。各階層Vαがそれぞれ集合でも、その和であるV真のクラスであるからだ。第二に、Vの要素は全て整礎集合に限られている。正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ Mirimanoff 1917; Moore 1982, pp. 261-262; Rubin 1967, p. 214
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.