制限 (数学)

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数学においてある関数の制限(せいげん、: restriction)の概念は次のように定義される。

f : EFE から F へのある関数とし、AE のある部分集合とする。このとき、fA への制限とは、次の関数のことを言う。

 {f|}_A \colon A \to F。但しこれはグラフ G({f|}_A) = \{ (x,y)\in G(f) \mid x\in A \} を持つ。

(大雑把に言うと、A\cap \mathrm{dom} \, f 上でのみ定義される「同一の関数」ということである)

より一般に、EF の間のある二項関係 R の制限(あるいは定義域制限または左制限A ◁ R は、定義域が A、値域が F でグラフが G(AR) = {(x, y) ∈ G(R) | xA}  であるような二項関係として定義できる。同様に、右制限あるいは値域制限 RB を定義することが出来る。実際、n 項関係への制限も、二項関係における E×F のように、関係として理解される部分集合に対して定義することが出来る。これらのケースはのスキームには適合しない。

定義域が E、値域が F であるような関数あるいは二項関係 R の、ある集合 A による定義域反制限(domain anti-restriction)は、(E  \ A) R のように定義される。すなわちこれは、A のすべての元を定義域 E から除くものである。しばしば A ⩤ R とも書かれる。同様に、ある関数あるいは二項関係 R の集合 B による値域反制限(range anti-restriction)は、R (F  \ B) で定義される。すなわちこれは、B のすべての元を値域 F から除くものである。しばしば R ⩥ B と表記される。

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  1. 単射関数  f: \mathbb R\to\mathbb R; x\mapsto x^2 \mathbb R_+=[0,\infty) への制限は、単射  f: \mathbb R_+\to\mathbb R; x\mapsto x^2 である。
  2. ある集合 A上位集合 E への包含写像は、E 上の恒等関数A への制限である。

関連項目[編集]