逆写像

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写像 f とその逆写像 f−1。たとえば fa を 3 に写すから、逆写像 f−1 は 3 を a に写す。

数学において集合 A から集合 B への写像逆写像(ぎゃくしゃぞう、: inverse mapping)は B から A への写像で、もとの写像もつかって A から B さらに A へ(あるいは B から A さらに B へ)行って戻ってくると、最初の集合のどの元も自分自身へ写されているようなものをいう。つまり同じことだが、x を入力として f に渡すと y が出力されて、その yf の逆写像への入力とすれば出力が x となる(逆もまた然りの)ものをいう。

逆写像を持つ写像は可逆 (invertible) であるという。写像 f の逆写像は、存在すれば f によって一意に決定され、f−1 と記される(f の逆写像、f インバースなどと読み、(−1)-乗と混同してはならない)。

函数と呼ばれる種類の写像の逆写像は、逆函数 (inverse function) と呼ばれる。

定義[編集]

fX から Y への写像ならば f−1YX へもどす写像である。

f始域あるいは定義域 (domain)集合 X終域 (codomain) が集合 Y となるような写像とするとき、f の逆写像 f−1 とは、存在するならば、Y が始域で X が終域となる写像で

f(x) = y\text{ if and only if }f^{-1}(y) = x

という性質を満たすもののことを言う。別な言い方をすれば、写像が可逆であるための必要十分条件は、その逆関係(あるいは逆対応)が再び写像となることである(このとき、逆関係あるいは逆対応が逆写像を与える)。

必ずしも全ての写像が逆写像を持つわけではなく、逆写像を持つためには「終域 Y の各元 y に対して、fy に写されるような始域 X の元 x がちょうど一つ存在する」というルールが満たされなければならない。これは一般に以下のような二つの条件として述べることができる。

  • 任意の yY に対して一つよりも多くの xX が対応することはない。この性質は、一対一である (one-to-one) とか、情報を保存する (information-preserving) とか、単射である (injective) などと呼ばれる。
  • 任意の yY に対して少なくとも一つの xX が対応する。この性質は、上への (onto) あるいは全射 (surjective) であるという。

この二つの性質を満たす写像は全単射と呼ばれる。したがって先ほどのルールは、しばしば「写像が全単射となることと逆写像を持つこととは同値である」というような形で述べられる。

初等数学では、始域は特に断りが無い限り実数全体と仮定され、終域は値域であるものと仮定される。初等解析学に現れる函数の大部分は逆函数を持たない[1]

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函数 f(x) = x2 は、その始域や終域が何であるかによって、可逆になるかどうかが変わってくる。

この函数 f の始域を実数全体とすれば、Y の各元はちょうどふたつの X の元 ±xf による像となっているため、f は可逆ではない。実際、出力された x の平方からもとの入力である x の符号がなんであったかを演繹的に得ることはできないので、逆の対応がつけられない。このような函数は単射でない (non-injective) とか情報が落ちている (information-losing)という。ここで、平方根正の平方根函数もともに x2 の逆函数ではないことに注意すべきである。前者は一価ではないし、後者は x が負のときは −x を返す。

同じ函数 f でも始域と終域を共に非負の実数全体としたり、あるいは負の実数全体を始域にすれば、可逆(正の平方根函数が逆函数)および単射になる。

高等数学における逆写像[編集]

既に述べた定義は初等解析学によく馴染むものである。進んだ数学では

f\colon X \to Y

と書いて 「f は集合 X の元を集合 Y の元に写す写像である」ことを表す。出元である Xf始域 (domain) といい、行先の Yf終域 (codomain) という。f の終域は f値域 (range)部分集合として含み、また終域は f の定義の一部とみなされる。

終域を気にする立場では、写像 f: XY の逆写像は始域 Y と終域 X を持つ必要がある。逆写像が Y の全域で定義されるためには、Y の全ての元が写像 f の値域に入っていなければならない。このような性質を持つ写像は上への写像 (onto function) または全射 (surjection) という。ゆえに、終域を持つ写像が可逆となる必要十分条件は、それが一対一かつ上への写像となることである。そのような写像は、一対一対応 (one-to-one correspondence) または全単射 (bijection) といい、Y の各元 y にちょうど一つの元 xX が対応するという性質を持つ。

逆写像と写像の合成[編集]

可逆写像 f の始域が X、値域が Y であるとき、

 f^{-1}(f(x)) = x\text{, for every }x \in X

が成り立つ。この主張は最初に挙げた逆写像の定義と同値であり、値域 Yf の終域に一致するならばすぐ上で挙げた二番目の定義とも同値になる。また写像の合成の言葉で書き直せば

 f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X

となる。ここで idX は集合 X 上の恒等写像である。圏論ではこれを逆射の定義として用いる。

写像の合成を写像同士の乗法の一種と考えるならば、この等式が示すことは逆写像が逆数の類似概念(アナロジー)であるということである。逆写像を f−1 と記すのはこのことに基づく。

記法についての注意[編集]

逆写像を上付き添字記法で表すのは、上付き添字のほかの使い方としばしば紛らわしい事になる(三角函数双曲線函数を扱っている場面では特に)。こういった混乱をさけるために、別な記法を利用することができる。逆写像を表すのに f[−1] とか "−1" を f の頭に載せた

\overset{-1}{f}

が使われることもある[* 1]

f−1(x) が f(x)−1 と同じでないことをはっきりさせておくことは重要である。逆写像 f−1(x) における上付き添字 "−1" は元ごとの冪ではない。さらに力学系では同様の記法を反復合成写像に対して用いる。その場合 f2 は写像 f の二回反復をあらわし、たとえば f(x) = x + 1 ならば f2(x) = (x + 1) + 1 = x + 2 となる。式で表せば

f^2(x) = f(f(x)) = (f \circ f)(x)

と模式的に書ける。微分積分学では上付き添字に括弧つきで f(n) と書いて fn-階導函数を表す。たとえば

f^{(2)}(x) = \frac{d^{2}}{dx^{2}}f(x)

である。右辺はさらに f を入力とする写像 d/dx の反復合成を表していると見ることもできる。

三角法では歴史的な理由で sin2(x) はふつう sin(x) の平方を意味「する」ことになっている。つまり、

 \sin^2 x = (\sin x)^2

であるが、一方で sin−1(x) が sin(x) の逆数を意味することは「まず無い」。つまり、

\sin^{-1} x \neq (\sin x)^{-1}

であり、左辺は sin(x) の逆函数(実際には偏逆写像)を表す。混乱を避けるため、逆三角函数はしばしばもとの三角函数に接頭辞 "arc"[* 2] をつけることで表される。たとえば、逆正弦函数

\sin^{-1}\,x = \arcsin\,x = \mathrm{asin}\, x

は、arcsin と呼ばれる。また (sin x)−1 は正弦函数の逆数

(\sin\,x)^{-1} = \frac{1}{\sin\,x} = \csc\,x

余割函数 cosecant と呼ばれ、csc x と書くのが普通である。双曲線函数も事情は大体同じで、接頭辞 "ar"[* 2]を付けて双曲線正弦函数 sinh(x) の逆函数を arsinh(x) と表したり、sinh(x) の逆数を csch(x) と書いたりする。

性質[編集]

一意性[編集]

与えられた写像 f に対して、その逆写像は存在すれば唯一つである。それは f を関係と見たときの逆関係に一致しなければならない。

対称性[編集]

写像とその逆写像との間には対称性が存在する。特に、f の逆写像 f−1 に対し、f−1 の逆写像はもともとの写像 f である。式で書けば

\begin{align}
 &\text{If }   &f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X\text{,} \\
 &\text{then } &f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y
\end{align}

がともに成り立つ。これは関係の逆転対合であることから従う。

この主張は可逆写像が(第一の定義では)単射または(第二の定義では)全単射とならなければならないことから明らかに演繹される帰結である。この対称性は

(f^{-1})^{-1} = f

という式として簡潔に表現できる。

合成写像の逆写像[編集]

gf の逆写像は f−1g−1 である。

合成写像の逆写像は

(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}

なる式で与えられる。ここで fg が逆順になっていることに注意。「まず g を施してから f を施す」という操作を取り消すには、「まず f を取り消してから g を取り消す」ようにしなければならない。

たとえば、f(x) = x + 5 および g(x) = 3x とすると、それらの合成 fg は、まず 3-倍してから 5 を加える函数

(f \circ g)(x) = 3x + 5

である。この過程を逆にするには、まず 5 を引いて、そのあと 3 で割る

(f \circ g)^{-1}(y) = (y - 5)/3

としなければならない。これは g−1f−1 に等しい。

自己逆写像[編集]

任意の集合 X に対して、そのうえの恒等写像はそれ自身を逆写像として持つ。つまり

\mathrm{id}_X^{-1} = \mathrm{id}_X

が成り立つ。もっと一般に、函数 f: XX がその逆函数と相等しいための必要十分条件は、合成函数 ff が idX に等しいことである。このような写像は対合と呼ばれる。

逆函数[編集]

一変数の初等解析学では実数を実数に写す写像である実函数を主に考える。そのような函数は、しばしば

f(x) = (2x + 8)^3

のような明示的な数式を通して定義される。実一変数実数値函数 f はそれが一対一である限り逆函数を持つ。

いくつかの標準的な実函数とその逆函数
函数 f(x) 逆函数 f−1(y) 注意
x + a ya
ax ay
mx y/m m ≠ 0
1 / x 1 / y x, y ≠ 0
x2 √y x, y ≥ 0 のときに限る
x3 3√y x, y は実数(特に制限無し)
xp y1/p 一般に x, y ≥ 0, p ≠ 0
ex ln y y > 0
ax logay y > 0 かつ a > 0, a ≠ 1
三角函数 逆三角函数 いろいろと制約がある

逆函数の式[編集]

f−1 が存在するとき、その式を求める方法のひとつが、方程式 y = f(x) を x について解くことで与えられる。例えば、f

f(x) = (2x + 8)^3

なる式で与えられているとき、方程式 y = (2x + 8)3x について解けば、

\begin{align}
      y         & = (2x+8)^3 \\
  \sqrt[3]{y}   & = 2x + 8   \\
\sqrt[3]{y} - 8 & = 2x       \\
\dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x 
\end{align}

となるから、求める逆函数 f−1

f^{-1}(y) = \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2}

なる式で与えられる。しかしいつでもこのような逆函数の求め方が通用するわけではない。例えば f

f(x) = x + \sin x

なる函数であれば、f は一対一で、したがって逆函数 f−1 を持つのだが、y = x + sin xx について代数的に解くことができないので、それを簡単な式で表すことはできない。

逆函数のグラフ[編集]

y = f(x) とy = f'−1 のグラフ。点線は y = x である。

ff−1 が互いに他の逆函数であるとすると、函数

y = f^{-1}(x)

のグラフは方程式

x = f(y)

のグラフと同一である。これは xy の役割が入れ替わっていることを除けば f のグラフを定める方程式 y = f(x) と同一視することができる。したがって、逆函数 f−1 のグラフは、函数 f のグラフで xy の位置を入れ替えることによって得られる。これは、これらのグラフが直線 y = x に関して線対称であるといっても同じことである。

逆函数の微分[編集]

実一変数実数値の連続函数 f が一対一(したがって可逆)となるために必要十分な条件は、それが狭義単調となる(極値を持たない)ことである。たとえば、函数

f(x) = x^3 + x

は可逆である。これが単調増大であることはその導函数 f′(x) = 3x2 + 1 が常に正値であることからわかる。

実一変数実数値函数が可微分ならば、その逆函数 f−1f′(x) ≠ 0 である限り可微分で、その導函数は逆函数定理により

\frac{d}{dy}(f^{-1}(y)) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}

で与えられる。これは x = f−1(y) とおくと

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy / dx}

と表すことができる。これは連鎖律から導くことができる。

逆函数定理は多変数函数に対しても一般化することができる。特に、可微分函数 f: RnRn は、点 p における f函数行列可逆である限り、点 p の近傍で可逆である。この場合、点 f(p) における f−1 の函数行列は p における f の函数行列の逆行列である。

実社会での例[編集]

たとえば、f摂氏温度華氏温度に変換する函数

 f(C) = \tfrac95 C + 32

とすると、華氏温度を摂氏温度に変換する逆函数は

 f^{-1}(F) = \tfrac59 (F - 32)

で与えられる。また例えば、ある家族の各子供にその生年を対応させる写像 f の逆写像は与えられた年に生まれた子供を出力するものであるはずであるが、その家族に双子や三つ子がいる場合にそれらの子が共にうまれた年を入力したときの出力は不明であるし、生まれた子供がいない年に対しては子供の名前は何も出力されない。そこで、どの子供も違う年に生まれたものとして、考える年も子供が生まれた年だけを考えることにすると、逆写像がきちんと定まる。

\begin{align}
 f(\text{Alan})&=2005 , \quad & f(\text{Brad})&=2007 , \quad & f(\text{Cary})&=2001 \\
 f^{-1}(2005)&=\text{Alan} , \quad & f^{-1}(2007)&=\text{Brad} , \quad & f^{-1}(2001)&=\text{Cary} 
\end{align}

一般化[編集]

偏逆写像[編集]

x の平方根は f(x) = x2 の偏逆写像である。

写像 f が一対一でない場合にも、f偏逆写像もしくは逆部分写像 (partial inverse) を始域を制限することによって定義することができる。たとえば函数

f(x) = x^2

x2 = (−x)2 となるから一対一ではない。しかし、x ≥ 0 に始域を制限すれば一対一になり、このとき

f^{-1}(y) = \sqrt{y}

となる(定義域を x ≤ 0 に制限したときは、逆函数は負の平方根を与えるものになる)。あるいは、逆函数を多価函数

f^{-1}(y) = \pm\sqrt{y}

として考えるならば始域を制限する必要も無い。 このような多価逆函数を f全逆函数もしくは完全逆写像 (full inverse) などと呼び、その(√x や −√x のような)部分のことをもしくは分枝 (branches) と呼ぶ場合もある。(例えば正の平方根のような)多価函数の最も重要な枝は主枝 (principal branch) といい、逆函数の y における値で主枝に属するものを f−1(y) の主値 (principal value) と呼ぶ。

実数直線上の連続函数に対して、極値の隣り合う対にそれぞれ、その全逆函数の一つの(連続な)枝が対応する。例えば、極大値と極小値をもつ三次函数の逆函数は、三つの分枝を持つ。

逆正弦函数正弦函数の偏逆函数である。

こういったことへの配慮は、特に三角函数の逆函数を定義する際には重要である。例えば、正弦函数は任意の実数に対して

\sin(x + 2\pi) = \sin(x)

を満たす(もっと一般に任煮の整数 n に対して sin(x + 2πn) = sin(x) を満たす)から一対一ではない。しかし、区間 [−π2, π2] 上で正弦函数は一対一であり、対応する偏逆函数は逆正弦函数 arcsine と呼ばれる。これは(全)逆正弦函数の主枝であると考えられ、そたがってこの逆函数の主値は常に −π2π2 の間に値を持つ。

逆三角函数の主枝
函数 通常用いられる主値の範囲
sin−1 π2 ≤ sin−1(x) ≤ π2
cos−1 0 ≤ cos−1(x) ≤ π
tan−1 π2 < tan−1(x) < π2
cot−1 0 < cot−1(x) < π
sec−1 0 ≤ sec−1(x) < π2 または π2 < sec−1(x) ≤ π
csc−1 π2 ≤ csc−1(x) < 0 または 0 < csc−1(x) ≤ π2

左逆写像・右逆写像[編集]

写像 f: XY に対し、f左逆写像 (left inverse) あるいはレトラクト (retract) とは、

g \circ f = \mathrm{id}_X

を満たす写像 g: YX のことをいう。つまり、X の各元 x に対して g

\text{If }f(x) = y\text{, then }g(y) = x

を満たす。したがって gf の値域上では f の逆写像と一致しなければならないが、値域に入らない Y の元に対してはどのような値をとろうとも支障ない。写像 f が左逆写像をもつための必要十分条件は、f が単射となることである。

f右逆写像 (right inverse) あるいは切断もしくは断面 (section) とは

f \circ h = \mathrm{id}_Y

を満たす写像 h: YX のことをいう。つまり hY の各元 y に対して

\text{If }h(y) = x\text{, then }f(x) = y

なる条件を満足する。したがって h(y) は f によって y へ写されるような x ならばどのようなものでもよい。写像 f が右逆写像をもつ必要十分な条件は、f が全射となることである(ただし一般には、選択公理が必要となるので、右逆写像を構成的に得ることはできない)。

左逆写像にも右逆写像にもなっている逆写像は一意でなければならず、さもなくば逆写像は存在しない。同様に、gf の左逆写像のとき、gf の右逆写像である場合もあるし、そうでない場合もある。また hf の右逆写像であるときも、h は必ずしも左逆写像でなくてよい。例えば f: R → [0, ∞) が R の各元 x に対してその平方を与える函数 f(x) = x2 とし、g: [0, ∞) → R を [0, ∞) なる各 x に対して正の平方根を与える函数 g(x) = &readic;x とすると、[0, ∞) のどの元 x に対しても f(g(x)) = x が成り立つ。つまり、gf の右逆函数である。しかし、例えば g(f(−1)) = 1 ≠ −1 であるから、gf の左逆函数にはなっていない。

原像[編集]

f: XY を(必ずしも可逆でない)任意の写像とするとき、Y の元 y原像 (preimage) または逆像 (inverse image) が、f によって y に写される X の元全体の成す集合

f^{-1}(y) = \{ x\in X : f(x) = y\}

として定まる。y の原像は、全逆写像による y の像(完全逆像)として考えることができる。

同様に、S を終域 Y の任意の部分集合とすると、Sf による原像が、f によって S へ写される X の元全体からなる集合

f^{-1}(S) = \{ x\in X : f(x) \in S \}

として定まる。たとえば、函数 f: RR; xx2 を考えると、この函数は既に述べたように可逆ではないが、しかし終域の部分集合に対する原像は定義できて、たとえば

f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\}) = \left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}

となる。一つの元 yY の原像(同じことだが、一元集合 {y} の原像)は、yファイバー (fiber) と呼ばれることもある。Y が実数全体からなる集合のとき、f−1レベル集合として言及されることも多い。

関連項目[編集]

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  1. ^ ブルバキなど
  2. ^ a b arc は弧 (arc) に対する、ar は面積 (area) に対するものであることを意味する符牒である。

参考文献[編集]

  1. ^ Smith, William K. Inverse Functions, MacMillan, 1966 (p. 60).

関連図書[編集]

  • Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 0914098896 
  • Stewart, James (2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397