対称差

ベン図による対称差の表現

数学において、対称差（たいしょうさ、symmetric difference）とは、二つの集合に対し、どちらか一方の集合には含まれるが両方には含まれないような元を集めた集合のことをいう。集合 P と Q との対称差は P Δ Q という記号がよく使われる。対称差に対応する論理演算は排他的論理和である。ブール代数の理論にもとづき環和（かんわ、ring-sum）$P \oplus Q$という用語も用いられる。

集合P とQとの対称差は、和集合$\cup$、積集合$\cap$、差集合$\setminus$などの操作を用いて次のように表すことができる。

$P \, \triangle \, Q = ( P \cup Q ) \setminus ( P \cap Q ) = ( P \setminus Q ) \cup ( Q \setminus P )$

対称差の代数的な関係

3つの集合の対称差

対称差は集合の間に空集合を単位とするような加法的演算をさだめている。

• $P \triangle Q = Q \triangle P$
• $(P \triangle Q) \triangle R = P \triangle (Q \triangle R)$
• $P \triangle \emptyset = P$

この演算は積集合の操作に対して分配則をみたす。

$P \cap ( Q \triangle R) = (P \cap Q) \triangle (P \cap R)$

これらのことから、対称差および積集合の操作によって集合の間に環の構造が入ることがわかる。

関連項目

• 集合
• 差集合
• 論理演算
• ブール関数