連続体濃度

集合論における連続体濃度（れんぞくたいのうど、英: cardinality of the continuum）は、しばしば連続体 (continuum) とも呼ばれる実数全体の成す集合 R の濃度（あるいは基数、俗に「大きさ」）をいう。これは無限濃度のひとつであり、|R|, ℵ（ヘブライ文字のアレフ）または $\mathfrak c$（ドイツ文字小文字の c）などで表される。

実数の全体 R は自然数の全体 N よりも多くの元を含む。もっと言えば、R は N の冪集合の元と同じ数の元をもつ。記号で表せば、N の濃度を ℵ₀ として、連続体濃度は

$\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} > \aleph_0$

である。このことはゲオルグ・カントールによって、彼の異なる無限の研究の事始めの一部として、1874年の証明で、あるいは後により簡明な対角線論法によって、示されている。カントールは全単射の概念を用いて濃度を定義した。すなわち、「二つの集合が同じ濃度を持つとは、それらの間に全単射が存在することを言う」。

二つの実数 a < b の間には、そのふたつがいくら近い値であっても、常に無限に多くの実数が存在し、カントールはそれが実数全体の成す集合が含む実数の数と等しいことを示した。すなわち、開区間 (a,b) は R に対等である。これは他にもいくつかの無限集合、例えば任意次元のユークリッド空間 Rⁿ でも同じである（空間充填曲線を参照）。

$|(a,b)| = |\mathbb{R}| = |\mathbb{R}^n|.$

最小の無限濃度が ℵ₀（アレフ・ノート）で、その次に大きな無限濃度を ℵ₁（アレフ・ワン）というが、ℵ₀ と ℵ の間に真に挟まれる濃度は存在しないという連続体仮説は、すなわち

$\aleph = \aleph_1$

であることを意味する。

性質

非可算性

ゲオルク・カントールが濃度の概念を無限集合の大きさを比較するために導入し、実数全体の成す集合が非可算無限である（すなわち、自然数全体の成す集合の濃度よりも真に大きい）ことを示した：

$\aleph_0 < \mathfrak{c}.$

ここで、「自然数」のところを「整数」と言い換えてもよい。カントールはこのことをいくつか違った方法で示している。カントールの最初の非可算性証明やカントールの対角線論法を参照。

連続体濃度についての関係式

カントールの対角線論法の一種を使うと、「任意の集合に対して、その冪集合のほうが濃度が真に大きい： |A| < 2^|A|」というカントールの定理が示せる。従って、自然数全体の成す集合 N の冪集合 P(N) は非可算である。実は、P(N) の濃度が連続体濃度 ℵ に等しいことが示せる。

1. 実数全体から有理数全体の成す集合の冪集合への写像 f: R → P(Q) を任意の実数 x に対し、それよりも小さい有理数全体のなす集合 {q ∈ Q | q ≤ x} を対応付けるものとして定める（これは実数を有理数のデデキント切断として捉えれば、有理数からなる集合全体の成す集合族における包含写像に他ならない）。この写像は、有理数全体の成す集合 Q が R において稠密であることから単射である。有理数全体の成す集合 Q は可算であったから、ℵ ≤ 2^ℵ₀ を得る。
2. 各項が集合 {0, 2} に値をとる無限列全体の成す集合 {0, 2}^N を考える。この集合の濃度は明らかに 2^ℵ₀ である（このような二値数列の全体と冪集合 P(N) との間の自然な全単射は指示函数を考えることで与えられる）。いま、このような二値数列 (a_i) に対して、単位閉区間 [0, 1] に属する実数で、その三進展開の数字の並びから作った数列が (a_i) となるようなもの（つまり、小数点以下第 i-位の数字が a_i であるような実数）が一意に定まるので、これを対応させる。この写像の像をカントール集合と呼ぶ。この写像が単射であることを示すのは（実数の三進展開が一意ではないという事実を利用して、展開に 1 が現れるのを避ける必要がある点を除いて）難しくない。故に 2^ℵ₀ ≤ ℵ が分かる。
3. 以上から、カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理により ℵ = |P(N)| = 2^ℵ₀ が帰結される。

もちろん、{0,1}^N から R への全単射を直接構成することによっても、ℵ = 2^ℵ₀ の別証明を与えることができる。カントールの対角線論法も参照。

濃度の等式

$\mathfrak{c}^2 = \mathfrak{c}$

は濃度の算術 (cardinal arithmetic) を用いれば

$\mathfrak{c}^2 = (2^{\aleph_0})^2 = 2^{2\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$

と示すことができるが、二つの二進列に対する「挿入演算」(interleaving) の一種を考えれば直接的に示すこともできる。実数 x, y の二進展開を

$\begin{align} x &= 0.a_0 a_1 a_2\ldots,\\ y &= 0.b_0 b_1 b_2\ldots \end{align}$

とするとき、これらの二進展開に対する挿入

$z = 0.a_0b_0 a_1b_1 a_2b_2\ldots$

は x, y が一意的に二進展開可能であるとき矛盾無く定義される。二進展開が一意でないような実数は可算無限個しかない。

濃度算術におけるいくつかの法則を用いるならば、n を 2 以上の有限濃度として、

$\mathfrak c^{\aleph_0} = {\aleph_0}^{\aleph_0} = n^{\aleph_0} = \mathfrak c^n = \aleph_0 \mathfrak c = n \mathfrak c = \mathfrak c$

が成り立つことがわかる。また

$\mathfrak{c}^\mathfrak{c} = (2^{\aleph_0})^\mathfrak{c} = 2^{\mathfrak{c}\times\aleph_0} = 2^\mathfrak{c},$

が成り立つことも示せる。ただし、

$2^\mathfrak{c} = |\mathfrak{P}(\mathbb{R})|,\quad 2^\mathfrak{c} > \mathfrak{c}$

である。

別の説明

任意の実数が無限十進小数展開をもつこと、例えば

1/2 = 0.50000...

1/3 = 0.33333...

$\pi$ = 3.14159....

（最初の二つは循環小数の例でもある）となることを用いても同じ等式が証明できる。いずれの展開も、現れる各位の数字の全体は自然数全体の成す集合と一対一対応を付けることができる（要するに、例えば π の小数点以下第一位の数字とか第百位の数字とか第百万位の数字とか、そういう指定ができる）から可算であり、自然数全体の成す集合の濃度が $\aleph_0$ だから、各実数の展開に現れる数字の数は $\aleph_0$ 個である。

各実数は整数部と十進小数部に分けることができるから、

${\mathfrak c} \leq \aleph_0 \cdot 10^{\aleph_0} \leq 2^{\aleph_0} \cdot {(2^4)}^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0 + 4 \cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0}$

を得る。ここで ℵ₀ + 4 ℵ₀ = ℵ₀ を用いた。他方、2 = {0, 1} を例えば {3, 7} に移すことにし、十進小数展開に 3 か 7 しか現れないような実数のみを考えれば、

$2^{\aleph_0} \leq {\mathfrak c}$

となることがわかるから、従って

${\mathfrak c} = 2^{\aleph_0}$

を得る。

ベート数

詳細は「ベート数」を参照

ベート数は

$\beth_0 = \aleph_0,\quad \beth_{k+1} = 2^{\beth_k}$

として再帰的に定められる列に属する濃度の総称である。故にこの意味で連続体濃度は二番目のベート数

$\beth_1=\mathfrak{c}$

である。そしてその次のベート数は R の冪集合（すなわち、実数直線の部分集合全体の成す集合）の濃度

$\beth_2 = 2^{\mathfrak{c}}$

である。

連続体仮説

詳細は「連続体仮説」を参照

よく知られる連続体仮説は、連続体濃度 ℵ が二番目のアレフ数 ℵ₁ であることを主張するものである。これは ℵ₀ と ℵ との間に真に挟まれる濃度を持つ集合 A は存在しない：

$\nexists A: \aleph_0 < |A| < \aleph$

と言い換えることもできる。現在ではこの言明はツェルメロ＝フレンケル集合論に選択公理を付け加えた公理系 (ZFC) からは独立であることが知られている。すなわち、ZFC に連続体仮説を付け加えた体系も ZFC に連続体仮説の否定を付け加えた体系も、いずれも (ZFC が無矛盾ならば) 無矛盾である。実は、0 でない任意の自然数 n に対し、等式 ℵ = ℵ_n は ZFC と独立である（n = 1 の場合が連続体仮説）。他の多くのアレフ数に対しても同様のことが言えるが、一部のアレフ数については共終性に基づくケーニヒの定理によって除外される（例えば ℵ ≠ ℵ_ω が成り立つ）。特に ℵ は ℵ₁ にも ℵ_ω1 にも成り得る。ただし、ω₁ は最小の非可算順序数である。従って、連続体濃度 ℵ は後続基数にも極限基数にも成り得るし、正則基数にも特異基数にも成り得る。

連続体濃度をもつ集合

数学において研究されている連続体濃度を持つ集合は非常に多く存在する。いくつか例を挙げる。

• R: 実数全体の成す集合。
• R における任意の非退化な閉区間あるいは開区間。たとえば単位区間 [0,1] 等。
• P: 無理数全体の成す集合。
• T: 超越数全体の成す集合。
• C: カントール集合
• Rⁿ: n-次元ユークリッド空間。
• C: 複素数全体の成す集合。
• P(N): 自然数全体の成す集合 N の冪集合。
• Z^N: 整数列（すなわち N から Z への写像）全体の成す集合。
• R^N: 実数列全体の成す集合。
• C⁰(R): R から R への連続函数全体の成す集合。
• $\mathcal{O}(\mathbb{R}^n)$: Rⁿ 上のユークリッド位相（開集合系）。
• $\mathfrak{B}_\mathbb{R}$: R 上のボレル集合族すなわち、R のボレル集合全体の成す集合。

連続体濃度よりも大きな濃度

連続体濃度よりも大きな濃度を持つ集合の例を挙げる。

• P(R): R の部分集合全体からなる集合（冪集合）。
• 2^R: R の部分集合に対する指示函数全体の成す集合。
  • 指示函数をその元が部分集合に属すかどうかを決めるものとみなせば、自然に P(R) = 2^R と見なせる。
• R^R: 実変数実数値の函数 R → R の全体の成す集合
• $\mathfrak{M}_\mathbb{R}$: R 上のルベーグ集合族、すなわちR のルベーグ可測集合全体の成す集合。
• N, Q, R それぞれのストーン＝チェック・コンパクト化。

以上は全て 2^ℵ = ב‎₂ の濃度を持つ。

参考文献

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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