カントール集合

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上から下に3等分した真中を抜くという操作を繰り返す。その極限がカントール集合である。

カントール集合(カントールしゅうごう、cantor set)は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないようなもの全体からなる集合である。マンデルブロは当初、カントール集合のことを「カントールの塵」(cantor dust)とも呼んでいた[1]1874年イギリスの数学者ヘンリー・ジョン・スティーヴン・スミスHenry John Stephen Smith)により発見され[2][3][4][5]1883年ゲオルク・カントールによって紹介された[6][7]

幾何学的には、線分を3等分し、得られた3つの線分の真ん中のものを取り除くという操作を、帰納的に繰り返すことで作られる集合である。ハウスドルフ次元は log(2)/log(3) (=0.6309297...) で、1 よりも小さい値を持つ。カントール集合は、ルベーグ測度は 0 で、しかも非可算集合であるような集合の有名な例である。

関連項目[編集]

出典[編集]

  1. ^ Measure, Topology, and Fractal Geometry 1-4ページ pdfにて無料ダウンロード可能
  2. ^ Henry J.S. Smith (1874) “On the integration of discontinuous functions.” Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140–153.
  3. ^ The “Cantor set” was also discovered by Paul du Bois-Reymond (1831–1889). See footnote on page 128 of: Paul du Bois-Reymond (1880) “Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung,” Mathematische Annalen, vol. 16, pages 115–128. The “Cantor set” was also discovered in 1881 by Vito Volterra (1860–1940). See: Vito Volterra (1881) “Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue” [Some observations on point-wise discontinuous functions], Giornale di Matematiche, vol. 19, pages 76–86.
  4. ^ José Ferreirós, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 1999), pages 162–165.
  5. ^ Ian Stewart, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos
  6. ^ Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [On infinite, linear point-manifolds (sets)], Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591.
  7. ^ H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2nd ed. (N.Y., N.Y.: Springer Verlag, 2004), page 65.