ルベーグ測度

ルベーグ測度（ルベーグそくど、英: Lebesgue measure）とは、数学において、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。この呼び名はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「直和集合の体積は元の体積の和」という性質（加法性）がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として ∞ をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、選択公理によって Rⁿ の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合A の測度を λ(A) で表す。

例

• 閉区間 [a, b] の一次元ルベーグ測度は b − a である。開区間 (a, b) の一次元ルベーグ測度も閉区間との差集合（つまり両端点のみからなる二元から成る集合 {a, b} ）の測度が 0 であることから、同じく b − a である。
• 集合 A が、[a, b] と [c, d] の 直積 (デカルト積) であれば、Aの二次元ルベーグ測度は、一次元ルベーグ測度の積 (b − a)(d − c) に等しい。
• 可算集合のルベーグ測度は必ず 0 である。カントール集合は、測度 0 の非可算集合の例である。

性質

n-次元ユークリッド空間 Rⁿ の n-次元ルベーグ測度は次のような性質を持つ。

1. Aを区間の直積： I₁ × I₂ × ... × I_nとする。このときAはルベーグ可測で$\lambda (A)=|I_1|\cdot |I_2|\cdots |I_n|$ である。ただしここで、 |J| は区間Jの長さを意味している。
2. Aを互いに素なルベーグ可測集合の無限を含む高々可算個の和集合とするとき、Aはルベーグ可測でλ(A)は、各集合の測度の和(もしくは、無限級数)に等しい。
3. Aがルベーグ可測ならば、Aの補集合も可測である。
4. 任意のルベーグ可測集合Aについてλ(A) ≥ 0である。
5. ルベーグ可測集合A、Bについて、A⊆B⇒ λ(A) ≤ λ(B)である。
6. 可算個のルベーグ可測集合の和集合や共通部分は、ルベーグ可測である。
7. Rⁿ の開集合や閉集合(参考:距離空間)はルベーグ可測である。
8. λ(A) = 0 となるルベーグ可測集合A(零集合)について、Aの部分集合はすべて零集合である。
9. Aをルベーグ可測集合、x をRⁿの成分とする。x によるAの平行移動をA + x = {a + x : a ∈ A}と定義するとき、A + xはルベーグ可測でA と測度が同じである。

以上の性質は、次のように簡潔に要約される:

ルベーグ可測集合全体は全ての区間の直積を含むσ-代数 となり、λ は$\lambda([0,1]\times [0, 1]\times \cdots \times [0, 1])=1$を満足する唯一の完備な平行移動不変な測度である。

ルベーグ零集合

任意の ε > 0 についてRⁿ の部分集合Aの可算個の区間の直積による被覆が存在し、その被覆の体積の総和が ε 以下であるとき、A はルベーグ零集合である。可算集合はすべて零集合である。また Rⁿ に含まれる n − 1 以下の次元をもつ部分集合は零集合である(例:R²上の直線や円)。

A がルベーグ可測であることを示すために次のような方法が使われる。A と B の対称差が零集合であるような「よりよい B」を見つけ、B が開集合や閉集合の可算個の和集合であることを示す。

ルベーグ測度の構成

ルベーグ測度の現代的構成はカラテオドリの拡張定理を利用する、以下のようなものである。

自然数 n を固定して、Rⁿ 内の（n-次元）区間あるいは超矩形 (box) とは、（一次元）区間の直積

$B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]$

の形（但し、b_i ≥ a_i であるものとする）に書ける Rⁿ の部分集合の総称である。この区間 B の容積 (volume) vol(B) は

$\text{vol}(B) := \prod_{i=1}^n (b_i-a_i)$

で与えられる。Rⁿ の（高々）可算個の区間からなる区間族を総称して、Rⁿ の区間塊という。

Rⁿ の任意の部分集合 A に対して、Rⁿ の区間塊をBとするとき、A の外測度 λ^∗(A) を

$\lambda^*(A) = \inf_{\mathbf{B}}\Big\{\sum_{B\in \mathbf{B}}\text{vol}(B)\Bigr\}$

で定める。ただしここでの下限は、その和が A を被覆するような区間塊 B 全体に亘ってとるものとする。さらに、Rⁿ の部分集合 A がルベーグ可測であるとは、Rⁿ の任意の部分集合 S に対して、カラテオドリの条件が成り立つこと：

$\lambda^*(S) = \lambda^*(A \cap S) + \lambda^*(S - A)$

を満たすこととする。ルベーグ可測な集合全体は完全加法族を成し、そのうえのルベーグ測度 λ が、任意のルベーグ可測集合 A に対して λ(A) = λ^∗(A) とおくことによって与えられる。

ヴィタリの定理によれば、実数全体 R の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する。もっと一般に、Rⁿ の任意の部分集合 A に対し、A はルベーグ非可測な部分集合を必ず含む。

他の測度との関係

• ボレル測度が定義される集合については、ルベーグ測度と一致する。しかし、ボレル可測でないがルベーグ可測な集合も多く存在する。ボレル測度は平行移動不変だが、完備ではない。
• 局所コンパクト群で定義されるハール測度はルベーグ測度の一般化である。
• ハウスドルフ測度(参考:ハウスドルフ次元)は、Rⁿ上のn次元以下の集合の測度を決めるのに役立つルベーグ測度の一般化である。

その他

ルベーグ可測でない集合の "奇妙な" ふるまいとしては、選択公理の結果であるバナッハ＝タルスキーのパラドックスがあげられる。

歴史

アンリ・ルベーグが1899年から1901年にかけてフランスの科学誌「コント・ランデュ」(en) に投稿した 6 報の論文のうち、最初のものを除く 5 報が測度に関するものであった。その内容は、続く1902年に、彼の博士論文「積分・長さ・面積」の一部として発表された。

関連項目

• 測度
• ルベーグ積分
• 完全加法族
• 外測度