メンガーのスポンジ

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メンガーのスポンジのイメージ

メンガーのスポンジとは自己相似フラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元ハウスドルフ次元相似次元)は log20/log3(=2.7268....)次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。

メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。

面積[編集]

メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。 実際、表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその表面積は\tfrac{1}{3}ずつ増加するため、穴を空ける回数をnとすると最終的に表面積は\lim_{n \to \infty} \left( \tfrac{4}{3} \right) ^{n}=\inftyと無限大に発散する。

体積[編集]

メンガーのスポンジの次元は3より小さいため、3次元的な大きさである体積は 0 である。 実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積は\tfrac{7}{27}ずつ減少するため、穴を空ける回数をnとすると最終的に体積は\lim_{n \to \infty} \left( \tfrac{20}{27} \right) ^{n}=0となり0に収束する。

関連項目[編集]