メンガーのスポンジ

メンガーのスポンジのイメージ

メンガーのスポンジとは自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元（ハウスドルフ次元、相似次元）は log20/log3(=2.7268....)次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。

メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。

面積

メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。 実際，表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合，一度穴を空ける毎にその表面積は$\tfrac{1}{3}$ずつ増加するため，穴を空ける回数をnとすると最終的に表面積は$\lim_{n \to \infty} \left( \tfrac{4}{3} \right) ^{n}=\infty$と無限大に発散する．

体積

メンガーのスポンジの次元は3より小さいため、3次元的な大きさである体積は 0 である。 実際，体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合，一度穴を空ける毎にその体積は$\tfrac{7}{27}$ずつ減少するため，穴を空ける回数をnとすると最終的に体積は$\lim_{n \to \infty} \left( \tfrac{20}{27} \right) ^{n}=0$と0に収束する．

関連項目

• カール・メンガー (数学者)
• フラクタル、フラクタル幾何
• シェルピンスキーのギャスケット
• シェルピンスキーのカーペット
• 立方体