特異測度

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数学の分野において、ある可測空間 (Ω, Σ) 上で定義される二つの正(あるいは符号付または複素)測度 μ および ν特異(とくい、: singular)であるとは、Σ 内の二つの互いに素な集合 AB で、その合併が Ω であり、B のすべての可測部分集合上で μ がゼロとなり、A のすべての可測部分集合上で ν がゼロとなるようなものが存在することを言う。この関係は \mu \perp \nu と表される。

ルベーグの分解定理の改良されたものにおいては、特異測度をある特異連続測度と離散測度に区分している。例としては下記を参照されたい。

Rn 上の例[編集]

特別な例として、ユークリッド空間 Rn 上のある測度が特異的であるとは、それがその空間上のルベーグ測度に関して特異的であることを言う。例えば、ディラックのデルタ関数は特異測度である。

離散測度

実数直線上のヘヴィサイドの階段関数

H(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{cases} 0, & x < 0; \\ 1, & x \geq 0; \end{cases}

は、その分布的導関数(distributional derivative)としてディラックのデルタ関数 \delta_0 を持つ。これは実数直線上の測度で、0 において点質量(point mass)を持つ。しかし、ディラック測度 \delta_0 はルベーグ測度 \lambda に関して絶対連続ではなく、\lambda\delta_0 に関して絶対連続では無い。すなわち、\lambda ( \{ 0 \} ) = 0 であるが \delta_0 ( \{ 0 \} ) = 1 であり、また U を任意の開集合で 0 を含まないものとするなら、\lambda (U) > 0 であるが \delta_0 (U) = 0 である。

特異連続測度

カントール分布は連続であるが絶対連続では無い累積分布関数であり、実際その絶対連続な部分はゼロである。すなわち、この分布は特異連続である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
  • J Taylor, An Introduction to Measure and Probability, Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9.

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