マンデルブロ集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

移動：案内, 検索

複素平面上の黒い部分がcのマンデルブロ集合

マンデルブロ集合（マンデルブロしゅうごう、Mandelbrot set）とは、複素平面上の集合が作り出すフラクタルである。

[編集] 定義

左上：場所 a の拡大図，右上：場所 b の拡大図，左下：場所 c の拡大図，右下：全体図

マンデルブロ集合のズーム動画。

次の漸化式

$\begin{cases} z_{n+1} = z_n^2 + c \\ z_0 = 0 \end{cases}$

で定義される複素数列 {z_n}_n∈N が n → ∞ の極限で無限大に発散しないという条件を満たす複素数 c 全体が作る集合がマンデルブロ集合である。

複素数 c を複素数平面上の点として（あるいは同じことだが c = a + ib と表して c を xy-平面上の点 (a, b) として）表すと、この平面上でマンデルブロ集合は自己相似的なフラクタル図形として表される。右に示した 4 つの図は複素平面上でのマンデルブロ集合である。右下が全体像、他の 3 つの図は各部の拡大像である。図中の黒い部分がマンデルブロ集合に相当し、周囲の色は無限大に発散する速さを表している。

マンデルブロ集合はヒョウタンのような図形の周囲に自己相似的な図形が無数にくっついた形状をしている。拡大図には「飛び地」のような黒い部分がいくつか見られるが、これらは全てマンデルブロ集合本体に連結していることが証明されている。

なお、上式で z₀ を 0 以外の複素数にした場合、マンデルブロ集合は上記の図形をゆがめたものになる。

マンデルブロ集合を複素数を使わずに書き直すには、z_n を点 (x_n, y_n) に、c を点 (a, b) にそれぞれ置き代えて、

$\begin{cases} x_{n+1} = x_n^2 - y_n^2 + a \\ y_{n+1} = 2x_n y_n + b \end{cases}$

とすればよい。

平面幾何学上で、マンデルブロ集合の周を拡大すると、元のものとよく似た形が繰り返して現れるが、全て少しずつ違っている。つまりマンデルブロ集合の周は自己相似ではないフラクタルの一種であり、その相似次元は平面内の曲線としては最大の2次元である。このことはマンデルブロの予想と呼ばれ未解決問題の一つだったが、宍倉光広によって肯定的に証明された。