マンデルブロ集合

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複素平面上の黒い部分がcのマンデルブロ集合
マンデルブロ集合を拡大する様子

マンデルブロ集合(マンデルブロしゅうごう、Mandelbrot set)とは、 複素平面上の集合の一つ、またはそれを複素平面上にプロットしたフラクタル図形。数学者のブノワ・マンデルブロにちなむ。

定義[編集]

左上:場所 a の拡大図,右上:場所 b の拡大図,左下:場所 c の拡大図,右下:全体図
マンデルブロ集合のズーム動画。

次の漸化式


\begin{cases}
z_{n+1} = z_n^2 + c \\
z_0 = 0
\end{cases}

定義される複素数列 {zn}nNn → ∞ の極限無限大発散しないという条件を満たす複素数 c 全体が作る集合がマンデルブロ集合である。

複素数 c複素数平面上の点として(あるいは同じことだが c = a + ib と表して cxy-平面上の点 (a, b) として)表すと、この平面上でマンデルブロ集合はフラクタル図形として表される。右に示した 4 つの図は複素平面上でのマンデルブロ集合である。右下が全体像、他の 3 つの図は各部の拡大像である。図中の黒い部分がマンデルブロ集合に相当し、周囲の色は発散する速さを表している。

複素平面上においてマンデルブロ集合の大半の面積を占めるのは、原点を含むカージオイドに無数の円が外接し、その円にさらに無数の小さい円が外接することを無限に繰り返してできるフラクタル図形である。さらに、周囲を拡大すると、このフラクタル図形に類似した「飛び地」のような図形(図左上など)が無数に見られる。また、これらの図形を包含する、発散の遅い領域もやはりフラクタルの特徴を有しており、螺旋・相似等の多様な図形要素を構成する(#拡大イメージ参照)。マンデルブロ集合全体は、「飛び地」を含め、連結であることが証明されている。

マンデルブロ集合のを拡大すると繰り返し現れる「飛び地」はマンデルブロ集合全体に良く似ているものの、互いに異なっている。つまりマンデルブロ集合の周は自己相似ではないフラクタルの一種であり、その相似次元平面内の曲線としては最大の2次元である。このことはマンデルブロの予想と呼ばれ未解決問題の一つだったが、宍倉光広によって肯定的に証明された。

なお、上式で z0 を 0 以外の複素数にした場合、マンデルブロ集合の周が変形し、後述のジュリア集合に似たフラクタル状の曲線が現れる。

マンデルブロ集合を複素数を使わずに書き直すには、zn を点 (xn, yn) に、c を点 (a, b) にそれぞれ置き代えて、


\begin{cases}
x_{n+1} = x_n^2 - y_n^2 + a \\
y_{n+1} = 2x_n y_n + b
\end{cases}

とすればよい。

ジュリア集合[編集]

Julia.jpg

マンデルブロ集合内外におけるジュリア集合

左:内部 (0.2, 0.5)、右:外部 (0.2, 0.8)

マンデルブロ集合はジュリア集合に対する指標としてブノワ・マンデルブロによって提唱されたものである。 ジュリア集合とは

z_{n+1} = z_n^2 + c

において c を固定した場合に、この漸化式が無限大に発散しないような初期値 z0 を与える集合である。

マンデルブロ集合を与える複素平面上の点はそれぞれ別個のジュリア集合に対応している。マンデルブロ集合内の点は全て連結したジュリア集合に対応し、その外にある点は連結でないものに対応している。( one page dictionary )

拡大イメージ[編集]

Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg
全体図
Mandel zoom 01 head and shoulder.jpg
拡大 1
Mandel zoom 02 seehorse valley.jpg
拡大 2
Mandel zoom 03 seehorse.jpg
拡大 3
Mandel zoom 04 seehorse tail.jpg
拡大 4
Mandel zoom 05 tail part.jpg
拡大 5
Mandel zoom 06 double hook.jpg
拡大 6
Mandel zoom 07 satellite.jpg
拡大 7
Mandel zoom 08 satellite antenna.jpg
拡大 8
Mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg
拡大 9
Mandel zoom 10 satellite seehorse valley.jpg
拡大 10
Mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg
拡大 11
Mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia islands.jpg
拡大 12
Mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia island.jpg
拡大 13
Mandel zoom 14 satellite julia island.jpg
拡大 14

フリー・フラクタル発生プログラム[編集]

マンデルブロ集合を高解像度で描画しようとするほど、膨大な計算時間を必要とするようになっていくことから、コンピュータのベンチマークテストとして利用されることがある。また、描き出される図形の幾何学的な美しさから鑑賞を目的として美麗な描画を行うプログラムもある。

関連項目[編集]