疎集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

数学の分野における、位相空間内の疎集合(そしゅうごう、英語: nowhere dense set[* 1]とは、閉包内部が空であるような集合のことである。この言葉の順番が大事で、例えば、R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。

集合を扱う空間が問題となる。すなわち、ある集合 A はある位相空間 X の部分空間として考えられた場合には疎集合であるが、別の位相空間 Y の部分空間として考えられた場合にはそうはならない、ということが起こりうる。疎集合は、それ自身においては常に稠密である。

疎集合のすべての部分集合はまた疎集合であり、有限個の疎集合の合併もまた疎集合である。すなわち、疎集合は集合のイデアル無視可能な集合英語版に関する適正な概念)を形成する。可算個の疎集合の合併は、しかし、必ずしも疎集合ではない(したがって、疎集合は必ずしもσ-イデアル英語版を形成しない)。そのような合併はやせた集合英語版[* 1]あるいは第1類集合と呼ばれる。この概念は、ベールの範疇定理を考える上で重要である。

開と閉[編集]

  • 疎集合は必ずしもではない(例えば、集合 \left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots\right\} は実数空間において疎集合である)。しかし、疎集合はある閉疎集合、すなわちその閉包(上の例に 0 を加えたもの)に含まれる。実際、ある集合が疎集合であることと、その閉包が疎集合であることは必要十分である。
  • 閉疎集合の補集合は稠密な開集合であり、したがって、疎集合の補集合は稠密な内部を持つ集合である。
  • 開集合の境界は、閉疎集合である。
  • すべての閉疎集合は、ある開集合の境界である。

正測度を持つ疎集合[編集]

疎集合はあらゆる意味において無視可能(negligible)である必要はない。例えば、X単位区間 [0,1] としたとき、それはルベーグ測度がゼロの稠密集合(有理数の集合など)を含むだけでなく、正測度を持つ疎集合をも含む。

カントール集合の変形であるような)一例として、[0,1] からすべての二進分数英語版(既約分数として a/2n の形を持つような分数。ただし an は正の整数)とその周りの区間 (a/2n − 1/22n+1, a/2n + 1/22n+1) を除いたような集合を考える。各 n に対し、多くとも合計 1/2n+1 の区間を除いているため、結局そのような区間を除かれた後に残った疎集合は少なくとも 1/2 の測度(実際は重なる部分の関係で 0.535... を少し超えた値)を持ち、そのため、ある意味で生成空間 [0,1] の大部分を占めていることが分かる。この集合が疎であることは、それが閉であり空であるような内部を持つことから分かる。任意の区間 (a, b) はその集合には含まれない。なぜならば (a, b) に含まれる二進分数は取り除かれているからである。

この方法を一般化することにより、どのような測度も 1 以下であるような疎集合を、単位区間の中に構成することが出来る。

関連項目[編集]

注釈[編集]

  1. ^ a b 「疎集合」という名称を meagre set のために用い、nowhere dense には「至る所疎」や「至る所非稠密」などの訳語を充てる流儀もある。例えば 渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎, http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf 

参考文献[編集]

外部リンク[編集]